prime numbers

 

Generating Prime numbers

Few methods have been suggested  to generate prime numbers. Here is yet another way.

Take any odd  (o) and even (e) numbers. The difference between its product and its sum [eo – e – o] or sum of its product and its sum  [eo + e + o] in most cases give prime numbers. When the numbers end with 3 and 4 respectively , the resultant invariably ends with 5 , a non-prime. If both the numbers are even, the resultant will be even which cannot be prime.

 e.g -1       

                          allowed                                                     forbidden  

5    2       10- 7 = 3         10 + 7 = 17                11     2     22 -13 =9   22 + 13 = 35

7    2       14 -9 = 5         14 + 9 = 23                17     2     34 – 19 = 15

9    2       18 – 11 = 7     18 + 11 = 29  

13   2      26 – 15 = 11   26 + 15 = 41

15   2      30 – 17 = 13   30 + 17 = 47

17   2                              34 + 19 = 53

19   2      38 – 21 = 17   38  + 21 = 59

 

e.g.-2

                         allowed                                                       forbidden

3     4       12 – 7  =  5       12 + 7 = 19       3    6      18 – 9 = 9     18 + 9 =  27

3     8       24 – 11 = 13     24 + 13 = 37     3    12    36 -  15 = 21  36 + 15 = 51

3    10      30 – 13 = 17     30 + 13 = 43     3    14    42 – 17  = 25

3    14                               42 + 17 = 59 

3    16      48 -  19 = 29    48  + 19 = 67     

           

பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம்-10

நிரூபணம் -9 

 c^m = aⁿ + bⁿ  ( m ≠ x n , n ≠ xm )

ஒரு மும்மடியை இரு வேறு இருமடிகளின் அல்லது நான்கு மடிகளின் அல்லது ஐந்து மடிகளின்  கூடுதலாக அல்லது வேறுபாடாகக் காட்ட முடியும் . ஆனால் இரு மும்மடிகளின் அல்லது அதன் மடங்கில் இருக்கும் மடிகளின் கூடுதலாகவோ அல்லது வேறுபாடாகவோ காட்ட முடிவதில்லை.

                                        c³  = a² ± b²                        c³    ≠   a³ ± b³   

                                                                    = a⁴ ± b⁴                                  ≠   a⁶ ± b⁶

                                            = a⁵ ± b⁵                                  ≠   a⁹ ± b⁹

                                             = a⁷ ± b⁷                                ≠   a¹² ± b¹²

ஒரு மும்மடியை இரு இருமடிகளின் கூடுதலாகக் காட்டும்  எண் தொடர்புகளை நிறுவ aⁿ ± bⁿ  = c³ என்ற பொதுத் தொடர்பின் நிபந்தனைத் தொடர்புகளைக் கொண்டு ஆராய்வோம். 1 + f₁² = f₂²  என்ற தொடர்பில் f₁ , f₂  இரண்டும் சார்புக் கூறுகளாகும். n= 2 எனில்  a² + a² f₁² = a² f₂² à a²  + (aq)² = r³  என்றமைவதற்கான நிபந்தனைத் தொடர்பு  a² (1+ q²) = r³.   q = 2, a = 5 எனில்  r = 5. இது  [(5,10)², 5³] என்ற எண் தொடர்பையும்  q = 3,a=10 , r=10 போன்ற மதிப்புக்கள்    [(10,30)², 10³]என்ற எண் தொடர்பையும்  தருகின்றன . வெவ்வேறு   n- ன் மதிப்புக்களுக்கான நிபந்தனைத் தொடர்புகளை ஏற்படுத்திக் கொண்டு அதை நிறைவு செய்யும் மதிப்புகளால்  எண் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம்   

n = 4       a(1 + q⁴ ) = r³      [(4,4)⁴, 8³]

n = 5      a²(1 + q⁵)  = r³     [(2,2)⁵, 4³]

n=  6      a³(1 + q⁶)  = r³     1 + q⁶ ஐ ஒரு மும்மடியாக்க முடியாததால் இது

                                                            தவிர்க்கப் படுகின்றது

n = 7       a⁴ (1+ q⁷) = r³     [(4,4)⁷, 32³]

n = 8       a⁵( 1 + q⁸) = r³       [(2,2)⁸, 8³]    

n = 9       a⁶ ( 1+ q⁹ ) = r³      1 + q⁹ ஐ ஒரு மும்மடியாக்க முடியாததால் இது

                                                        தவிர்க்கப்படுகின்றது

aⁿ + bⁿ = c³ என்ற பொதுத் தொடர்பிற்கான நிபந்தனைத் தொடர்பு a^n-3 ( 1+ qⁿ) = r³

n = 3,6,9,,,,,,,,,3m எனில் a^3(m-1) (1+q^3m) = r³.  (1+q^3m) ஐ  மும்மடியாக்க முடியாமை முழு எண்களாலான   எண் தொடர்புகளுக்கு அகத் தடையாக இருக்கின்றது.

aⁿ + bⁿ = c^m என்ற பொதுத் தொடர்பிற்கான நிபந்தனைத் தொடர்பு aⁿ ( 1+ qⁿ) = r^m. . n < m எனில்  1+ qⁿ  = a^m-n.  . m(>3) = n எனில்   q = ௦  என்பதால் தொடர்பில் ஒரு உறுப்பு சுழியாகிவிடுகின்றது மேலும் இருக்கும் இரு உறுப்புக்களும் சமமாகி விடுகின்றன .

n >m  எனில் a^n-m  (1 + qⁿ)  = r^m.  m (>3) = n எனில் 1 + qⁿ = rⁿ. எந்தவொரு மடி யெண்ணுடனும் ஒன்றைக் கூட்டி அதே மடியில் வேறொரு மடி மூல  எண்ணாக்க  முடியாது என்ற உண்மை பெர்மாட்  இறுதித் தேற்றத்தை நிரூபிக்கின்றது

aⁿ + bⁿ = cⁿ என்ற பொதுத் தொடர்பை  aⁿ [ 1 + (b/a)ⁿ ] = cⁿ  எனத் திருத்தி எழுதலாம் .  c  முழு எண்ணாக இருக்க [ 1 + (b/a)ⁿ ]  ஐ n  மடியின் மடி மூலமாகக்  காட்ட வேண்டும். .n  மடியுடன் ஒன்று கூடுதலாக இருப்பதால் அதை ஒருபோதும்  n ன் மடியாக்க முடிவதில்லை.

ஒரே மடியில்  இருவேறு மடி மூல எண்களின் வேறுபாட்டைக் கொண்டும் இதே முடிவை வலியுறுத்திச் சொல்ல முடியும்.  aⁿ – bⁿ = c³   என்ற பொதுத்  தொடர்பில் அனுமதிக்கப்படும் மற்றும் தவிர்க்கப்படும்  n- ன் மதிப்புக்களை  நிறைவுறு  மற்றும் நிறைவுறா நிபந்தனைத் தொடர்புகளுடன் அறிவோம்

n = 2       (p² – q² ) = a r³  ;     [(3,1)³, 2³], a = 1 என்ற நிலையில் பொதுக்காரணியற்ற தொடர்பு கிடைக்கின்றது. a > 1 என்ற நிலையில் பொதுக்காரணியுடன் எண் தொடர்புகள் அமைகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக a = 2, p = 3.q=2, r =2 போன்ற மதிப்புக்கள்  {(10,6)² 4³]  என்ற தொடர்பையும்  a = 4, p = 7.q=5, r =2  போன்ற மதிப்புக்கள் [(21.15)²  6³] என்ற தொடர்பையும் தருகின்றன.

n=3 எனில்   p³ – 1 = r³   ஒரு மும்மடியுடன் ஒன்றைக்கூட்டி அல்லது கழித்து மற்றொரு மும்மடியை ஏற்படுத்த முடியாது நிறைவுறாத் தொடர்பால் .₂³R³₁ க்கு  முழு எண்களாலான தொடர்புகள் இல்லை. n - ன் பிற மதிப்புக்களுக்கான நிபந்தனைத் தொடர்பும் எண் தொடர்புகளும்

n=4      a(p⁴ – q⁴) = r³ ; [(450,225)⁴ , 3375³ ] 

n = 5      a²(p⁵ - 1)  = r³     [(62,31)⁵,961³]

n=  6      a³(p⁶ - 1)  = r³     p⁶ - 1 ஐ ஒரு மும்மடியாக்க முடியாததால் இது

                                                   தவிர்க்கப்படுகின்றது

n = 7       a⁴ (p⁷- 1 ) = r³     [(32258,16129)⁷, (127³)³]

n = 8       a⁵( p⁸ - 1) = r³       [(510,255)⁸,(255³)³]    

n = 9       a⁶ (p⁹ - 1) = r³     p⁹ - 1 ஐ ஒரு மும்மடியாக்க முடியாததால் இது

                                                    தவிர்க்கப் படுகின்றது

aⁿ  - bⁿ = c³ என்ற பொதுத் தொடர்பிற்கான நிபந்தனைத் தொடர்பு a^n-3 (pⁿ - 1 ) = r³

n = 3,6,9,,,,,,,,,3m எனில் a^3(m-1) (p^3m  - 1) = r³.  (p^3m  - 1) ஐ  மும்மடியாக்க முடியாமை முழு எண்களாலான   எண் தொடர்புகளுக்கு அகத் தடையாக இருக்கின்றது.

aⁿ -  bⁿ = c^m என்ற பொதுத் தொடர்பிற்கான நிபந்தனைத் தொடர்பு aⁿ (pⁿ - 1) = r^m. . n < m எனில் pⁿ - 1   = a^m-n.  . m(>3) = n எனில்   p = ௦  என்பதால் தொடர்பில் ஒரு உறுப்பு சுழியாகிவிடுகின்றது மேலும் இருக்கும் இரு உறுப்புக்களும் சமமாகி விடுகின்றன .n >m  எனில் a^n-m  (pⁿ - 1 )  = r^m.  m (>3) = n எனில்  pⁿ - 1  = rⁿ. எந்தவொரு மடி யெண்ணுடனும் ஒன்றைக் கழித்து  அதே மடியில் வேறொரு மடி மூல  எண்ணாக்க  முடியாதது  பெர்மாட்  இறுதித் தேற்றத்தை நிரூபிக்கின்றது.