1 முதல் n வரையுள்ள  இயல் தொடரின் கூட்டுத்தொகை

1+ 2 = 3 =   (1+1/2) + (2-1/2) = 2 x 3/2 = 3
கூட்டப்படும் இரு எண்களின் சராசரி மதிப்பு (1 +2)/2 = 3/2                     

1+ 2+ 3+……. n  =    ∑ n 

கூட்டப்படும்  எண்களின் சராசரி மதிப்பு  ∑ n / n = (n+1)/2

n இரட்டை மதிப்புடையதாக இருந்தால் கூட்டலில் உள்ள ஒரு எண்ணின் சராசரி மதிப் பு  (n +1 )/2  . எனவே n எண்களின் கூட்டுத் தொக n (n+1)/2 . அல்லது கூட்டலில் (n+1)   கூட்டுத் தொகைகொண்ட (n /2) இணைகள்  இருப்பதால் கூட்டுத் தொகை n(n+1)/2  ஆகும் n ஒற்றை எனில், ஒன்றின்  மதிப்பு (n + 1 ) கொண்ட (n -1 )/2 எண் இணைகள் இருக்கும். இணையற்ற மைய எண்ணின் மதிப்பு (n +1) /2. இவற்றின் கூட்டுத் தொகை  n(n+1)/2.

                       இத்தொடர்பையே அடிப்படையாகக் கொண்டு  1 முதல் n வரையுள்ள எண்களின் இருமடி மற்றும் மும்மடிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தை நிறுவமுடியும். 1 முதல் n வரையுள்ள எண்களின் இருமடிகளின் கூட்டுத்தொகை , 1 முதல் n வரையுள்ள எண்களின்  கூட்டுத்தொகைக்கு நேர் விகிதத் தொடர்பில் இருப்பதாகக் கொள்ளலாம்.

                                    ∑ n² = k_n ∑ n

n ன் வெவ்வேறு மதிப்புக்களுக்கு k_n  மதிப்பை அறிந்து n  க்கு ஏற்ப மாறுபடும் k_n  மதிப்பை நிறுவமுடியும்

                n          ∑ n                 ∑ n²                   k_n                    Δ k_n

               …………………………………………………………………..

               1               1                      1                  1              ……

               2               3                      5                1 2/3            2/3

               3               6                     14               2 1/3           2/3

              4              10                     30               3                2/3

              5              15                    55               3 2/3             2/3

            ……………………………………………………………………….

k_n  = 1 + (n-1) (2/3) = (2n+1)/3

∑ n² = k_n ∑ n = [(2n+1)/3][ n (n+1)/2] = n(n+1) (2n+1)/6

இது போல    ∑ n³ = k_n ∑ n

n ன் வெவ்வேறு மதிப்புக்களுக்கு k_n  மதிப்பை அறிந்து n  க்கு ஏற்ப மாறுபடும் k_n  மதிப்பை நிறுவமுடியும்

                n          ∑ n                 ∑ n³                   k_n                    Δ k_n

               …………………………………………………………………..

               1               1                      1                 1              ……

               2               3                      9                 3                 2

               3               6                    36                 6                3

              4              10                   100              10                4

              5              15                   225              15                   5

            ……………………………………………………………………….

k_n   = ∑ n

∑ n³ = k_n ∑ n = ∑ n X ∑ n = [∑ n]² = n²(n+1)²/4

    இந்த வழிமுறையைப் பின்பற்றி உயர் மடிகளால் ஆன இயலெண் தொடருக்கான சூத்திரத்தை ஏற்படுத்திக்கொள்ள முடியும்.

∑ n⁴ = k_n ∑ n²    என்று கொள்வோம்.

n          ∑ n²               ∑ n⁴             k_n                    Δ k_n                                                                         …………………………………………………………………………..

                    1               1                      1            1              ……

                   2               5                    17         17/5          12/5

                  3              14                    98           7             18/5

                 4               30                   354       59/5           24/5          

                 5               55                   979       89/5           30/5         

               ……………………………………………………………………………..

k_n  = 1 + (6/5) [2+3++4+5…….n] = 1 +(6/5) [n (n+1)/2  - 1]= 1 +(3/5)[n² + n – 2]

   = (3n² +3n – 1)/5

∑ n⁴ = k_n ∑ n² = [(3n² +3n – 1)/5] [n(n+1)(2n+1)/6]

∑ n⁵ = k_n ∑ n³    என்று கொள்வோம்.

n          ∑ n³               ∑ n⁵             k_n                    Δ k_n                                                                         …………………………………………………………………………..

                    1               1                      1            1              ……

                   2                9                    33         11/3          8/3

                  3               36                  276         23/3          12/3

                 4              100                 1300        13              16/3          

                 5              225                  4425       59/3           20/3         

               ……………………………………………………………………………..

k_n  = 1 + (4/3) [2+3++4+5…….n] = 1 +(4/3) [n (n+1)/2  - 1]= 1 +(2/3)[n² + n – 2]

   = (2n² +2n – 1)/3

∑ n⁵ = k_n ∑ n³ = [(2n² +2n – 1)/3] [n(n+1)/2]²

∑ n⁶ = k_n ∑ n²    என்று கொள்வோம்.

n          ∑ n²               ∑ n⁶             k_n                    Δ k_n                                                                         …………………………………………………………………………..

                    1               1                      1            1              ……

                   2                5                    65          13             12 = 84/7

                  3                14                  794         397/7       306/7

                  4                30                 4890        163           744/7          

                  5                55                 20515       373         1470/7           

               ……………………………………………………………………………..

k_n  = 1 + (6/7) [14+51+124+245+…….]  = (3n⁴ +6n³ –3n + 1)/7

∑ n⁶ = k_n ∑ n² = [(3n⁴ +6n³ –3n + 1)/7][n(n+1)(2n+1)/6]

 

இது போன்ற அமைப்புக்களில் ஒரு புள்ளியிலிருந்து  தொடங்கி கையை எடுக்காமல் ஒரே கோட்டில் அனைத்து தடங்களையும் கடந்து அனைத்துப் புள்ளிகளையும் இணைக்கவேண்டும்

இதில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியை அடைவதற்கும்  வெளியேறுவதற்குமாக பல  வழிகள் உள்ளன .ஒரு வழி மூலம் உள்ளே நுழைந்தால் மற்றொரு வழி மூலம் வெளியேற  முடிகின்றது. முதல் அமைப்பில் எல்லா ப் புள்ளிகளும் இரு வழிகொண்ட வை . தடத்தில் அல்லது புள்ளியில் எங்கிருந்து தொடங்கினாலும்  அனைத்துப் புள்ளிகளையும்  தடங்களையும் ஒரே கோட்டில் ஒருமுறை மட்டும் கடந்து நிறைவு செய்யமுடியும் . இரண்டாவது அமைப்பில் ஒரு புள்ளி ஒரு வழிப் பாதையையும் மற்றொரு புள்ளி மூன்று வழிப் பாதைகளையும் கொண்டுள்ளன . 1 அல்லது 3 லிருந்து தொடங்கினால் முயற்சி வெற்றிபெறும் . 2 லிருந்து தொடங்கினால் வெற்றிபெறுவதில்லை . மூன்றாவது அமைப்பில் 3 லிருந்து தொடங்க முயற்சியில் வெற்றி பெறமுடிகிறது .நான்கு மற்றும் ஐந்தாவது அமைப்புக்களில் ஒற்றைப்படையில் பாதை கொண்ட புள்ளிகள் இல்லை. எங்கிருந்து தொடங்கினாலும் வெற்றிபெறமுடிகின்றது . ஆறாவது அமைப்பு இதை உறுதி செய்கின்றது . 2 லிருந்து தொடங்கினால் ஒரு பகுதி விடுபட்டுப் போகின்றது . 5  லிருந்து தொடங்க அனைத்துப் புள்ளிகளையும் ,தடங்களை ஒரே கோட்டில் இணைக்க முடிகின்றது .

 

Divisibility rule A number is divisible by 2n if the sum of the number's last n digits is divisible by 2n. If the last digit of a number is even, whatever may be the other digits it will be divisible by 2. If the last two digits of a number is divisible by 4 .then that number will be divisible by 4. If the last three digits of a multi digit number is divisible by 8, then that number will be divisible by 8. For example the n008 . The sum of the last three digits 0+0+8 = 8 What ever may the value of n, all the numbers will be divisible by 8. The similar such numbers have the follwing last three digits 080,088,152,224,376,448,512,592,664,736,808,880,888,952

 ஒரு பக்கமுள்ள இரு இருமடிகளும் ஒரே மூல எண்களைக் கொண்டிருக்கும்   2R22  தொடர்புககளில்காணப்படும்  மாற்றங்களை அறிந்து  ஒரே ஒரு காரணியால் நிறுவக்கூடிய ஒரு பொதுவான அல்ஜீப்ரா தொடர்பை  ஏற்படுத்தமுடியும் . இந்த வழிமுறை மூலம் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுடன் கூடிய  எண் தொடர்பை சட்டெனெ நிறுவமுடியும் 

 

                            1^2  +  7^2   = 5^2  + 5^2  = 50

                            7^2  +  17^2   = 13^2  + 13^2  = 338

                            17^2  + 31^2   = 25^2  + 25^2  = 1250

                            31^2  + 49^2   = 41^2  + 41^2  = 3362

                            49^2  +  71^2   =61^2  + 61^2  = 7442

                            71^2    + 97^2   = 85^2  + 85^2  = 14450

                            97^2  + 127^2   =113^2  + 113^2  = 25538 

ஒரு பக்கமுள்ள இரு இருமடி மூல எண்கள் யாவும் 4  ன்  ஒரு மடங்கை விட ௧ கூடுதலாக உள்ளது . அதாவது அவை 4 ( 1+ 2 + 3+ 4........ n) = 2n(n+1) என்ற தொடர்பிற்கு உட்பட்ட எண்களாக இருக்கின்றன.மறுபக்கமுள்ள இரு மூல எண்களும் ஒரு காரணியால் வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்பால் நிறுவப்படும் அடுத்தடுத்த எண்களாக இருக்கின்றன . இதை [2n(n+2)+1] என்று நாம் நிறுவலாம். எனவே இந்த எண் தொடர்புகளுக்கான அல்ஜீப்ரா தொடர்பு  

       [2n(n+2)+1]^2  + [2(n+1)(n+3)+1]^2  =  [2n(n+2)+1]^2   + [2n(n+2)+1]^2

 இரு பிதகோரஸ்  மூவெண் அணிகளைக்கொண்டு  ஒன்றுக்குமேற்பட்ட  4R4^2  எண் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம் . (x,y=z), (a,b=c)   என்ற இரண்டும் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் இரு பிதகோரஸ் மூவெண் அணிகளாக இருக்கட்டும்

(x-a)^2 + (x+a)^2 + (y-b)^2 + (y+b)^2 = (x-b)^2  + (x+b)^2 + (y-a)^2   + (y+a)^2 

                                                                                   = 2( x^2 + y^2 + a^2 +b^2) = 2 (z^2 +c^2 )

எ.கா (3,4=5), (5,12=13)  க் கொண்டு

    (5-3)^2 + (5+3)^2 + (12-4)^2 + (12+4)^2  = (5-4)^2  + (5+4)^2 + (12-3)^2 + (12+3)^2

             2^2 +8^2  + 8^2  + 16^2 = 1^2 + 9^2  + 9^2 + 15^2 =388 

2R2^2  தொடர்புகளைக் கொண்டு புதிய 2R2^2   தொடர்புகளையும்   பிதகோரஸ் தொடர்புகளையும் நிறுவமுடியும்  a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = n என்ற ஒரு  2R2^2  தொடர்பைக் கருதுவோம்  

                                (a+b)^2 + (a-b)^2  = (c+d)^2 + (c-d)^2  = 2 (a^2 +b^2 ) = 2(c^2 + d^2) = 2n

எ.கா  2^2  + 11^2  = 5^2  + 10^2 --->  9^2  + 13^2 = 5^2 + 15^2 

ஒரு பக்கமுள்ள இரு இருமுடி மூல எண்களும் ஒரே எண்ணாக இருக்கும் நிலையில் இது பிதகோரஸ் தொடர்பைத் தருகின்றது 

எ.கா  1^2  + 7^2  = 5^2  + 5^2 --->  6^2  + 8^2 = 10^2  

                  7^2  +17^2  = 13^2  + 13^2 --->  10^2  + 24^2 = 26^2  

 இரு எண்களின் பெருக்குத் தொகையின் இருமடங்கு ஒரு இருமடியா க இருக்குமாறு இரு எண்களைத் தேர்வு செய்துகொண்டு அவற்றின் வேறுபாட்டின் இருமடியைவிரித்து எழுத இது போன்ற தொடர்புகள் கிடைக்கின்றன 

எ.கா .  (32-1)2  = 31^2  = 32^2  +  1^2  - 64 = 32^2  +  1^2  -  8^2 

                                                                                              31^2  + 8^2  = 32^2 + 1^2

 (16-2)^2  = 14^2  = 16^2  +  2^2  - 64 = 16^2  +  2^2  -  8^2 

                                                                                              14^2  + 8^2  = 16^2 + 2^2

இவற்றின் கூட்டுத் தொகையை விரித்து எழுத  ஒரு இருமடி, மூன்று இருமடிகளின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமமாக இருக்குமாறான தொடர்பை ஏற்படுத்தமுடியும்

(32+1)^2  = 33^2  = 32^2  +  1^2  + 64 = 32^2  +  1^2  +  8^2 

(16 +2)^2  = 18^2  = 16^2  +  2^2  + 64 = 16^2  +  2^2  + 8^2 

 பிதகோரஸ்  மூவெண்களைக் கொண்டு ஒரு இருமடிகளின் கூட்டுத் தொகை இருவேறு இருமடிகளின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும் தொடர்புகளை நிறுவமுடியும்  (x,y,z=z), (a,b=c)  என்ற இரு  பிதகோரஸ்  மூவெண்களை எடுத்துக்கொள்வோம் . 

                                              x^2  +  y^2   =  z^2  ;  a^2  + b^2  = c^2

x^2  +  y^2   =  z^2  x a^2 --->  (ax)^2  +  a^2 y^2 = (az)^2

                                              =     (ax)^2  + (c^2 - b^2 ) y^2  =(az)^2

                                              =   (ax)^2  +(cy)^2  = (az)^2 + (by)^2

இவ்வழிமுறையில்  a யும்  b யும்  இடமாற்றிக்கொள்ளலாம்  என்பதால்  

                                      (bx)^2  + (by)^2  = (bz)^2 

                                     (bx)^2  + (c^2 - a^2) y^2  = (bz)^2

                                                     (bx)^2  + (cy)^2  = (bz)^2  +  (ay)^2

   (3,4=5) , (5,12,13) போன்ற இரு பிதகோரஸ் மூவெண்களைக் கொண்டு   

 15^2 + 52^2  = 25^2 + 48^2 = 2929

39^2 + 20^2 = 25^2 + 36^2 = 1921