1 முதல் n வரையுள்ள  இயல் தொடரின் கூட்டுத்தொகை

1+ 2 = 3 =   (1+1/2) + (2-1/2) = 2 x 3/2 = 3
கூட்டப்படும் இரு எண்களின் சராசரி மதிப்பு (1 +2)/2 = 3/2                     

1+ 2+ 3+……. n  =    ∑ n 

கூட்டப்படும்  எண்களின் சராசரி மதிப்பு  ∑ n / n = (n+1)/2

n இரட்டை மதிப்புடையதாக இருந்தால் கூட்டலில் உள்ள ஒரு எண்ணின் சராசரி மதிப் பு  (n +1 )/2  . எனவே n எண்களின் கூட்டுத் தொக n (n+1)/2 . அல்லது கூட்டலில் (n+1)   கூட்டுத் தொகைகொண்ட (n /2) இணைகள்  இருப்பதால் கூட்டுத் தொகை n(n+1)/2  ஆகும் n ஒற்றை எனில், ஒன்றின்  மதிப்பு (n + 1 ) கொண்ட (n -1 )/2 எண் இணைகள் இருக்கும். இணையற்ற மைய எண்ணின் மதிப்பு (n +1) /2. இவற்றின் கூட்டுத் தொகை  n(n+1)/2.

                       இத்தொடர்பையே அடிப்படையாகக் கொண்டு  1 முதல் n வரையுள்ள எண்களின் இருமடி மற்றும் மும்மடிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தை நிறுவமுடியும். 1 முதல் n வரையுள்ள எண்களின் இருமடிகளின் கூட்டுத்தொகை , 1 முதல் n வரையுள்ள எண்களின்  கூட்டுத்தொகைக்கு நேர் விகிதத் தொடர்பில் இருப்பதாகக் கொள்ளலாம்.

                                    ∑ n² = k_n ∑ n

n ன் வெவ்வேறு மதிப்புக்களுக்கு k_n  மதிப்பை அறிந்து n  க்கு ஏற்ப மாறுபடும் k_n  மதிப்பை நிறுவமுடியும்

                n          ∑ n                 ∑ n²                   k_n                    Δ k_n

               …………………………………………………………………..

               1               1                      1                  1              ……

               2               3                      5                1 2/3            2/3

               3               6                     14               2 1/3           2/3

              4              10                     30               3                2/3

              5              15                    55               3 2/3             2/3

            ……………………………………………………………………….

k_n  = 1 + (n-1) (2/3) = (2n+1)/3

∑ n² = k_n ∑ n = [(2n+1)/3][ n (n+1)/2] = n(n+1) (2n+1)/6

இது போல    ∑ n³ = k_n ∑ n

n ன் வெவ்வேறு மதிப்புக்களுக்கு k_n  மதிப்பை அறிந்து n  க்கு ஏற்ப மாறுபடும் k_n  மதிப்பை நிறுவமுடியும்

                n          ∑ n                 ∑ n³                   k_n                    Δ k_n

               …………………………………………………………………..

               1               1                      1                 1              ……

               2               3                      9                 3                 2

               3               6                    36                 6                3

              4              10                   100              10                4

              5              15                   225              15                   5

            ……………………………………………………………………….

k_n   = ∑ n

∑ n³ = k_n ∑ n = ∑ n X ∑ n = [∑ n]² = n²(n+1)²/4

    இந்த வழிமுறையைப் பின்பற்றி உயர் மடிகளால் ஆன இயலெண் தொடருக்கான சூத்திரத்தை ஏற்படுத்திக்கொள்ள முடியும்.

∑ n⁴ = k_n ∑ n²    என்று கொள்வோம்.

n          ∑ n²               ∑ n⁴             k_n                    Δ k_n                                                                         …………………………………………………………………………..

                    1               1                      1            1              ……

                   2               5                    17         17/5          12/5

                  3              14                    98           7             18/5

                 4               30                   354       59/5           24/5          

                 5               55                   979       89/5           30/5         

               ……………………………………………………………………………..

k_n  = 1 + (6/5) [2+3++4+5…….n] = 1 +(6/5) [n (n+1)/2  - 1]= 1 +(3/5)[n² + n – 2]

   = (3n² +3n – 1)/5

∑ n⁴ = k_n ∑ n² = [(3n² +3n – 1)/5] [n(n+1)(2n+1)/6]

∑ n⁵ = k_n ∑ n³    என்று கொள்வோம்.

n          ∑ n³               ∑ n⁵             k_n                    Δ k_n                                                                         …………………………………………………………………………..

                    1               1                      1            1              ……

                   2                9                    33         11/3          8/3

                  3               36                  276         23/3          12/3

                 4              100                 1300        13              16/3          

                 5              225                  4425       59/3           20/3         

               ……………………………………………………………………………..

k_n  = 1 + (4/3) [2+3++4+5…….n] = 1 +(4/3) [n (n+1)/2  - 1]= 1 +(2/3)[n² + n – 2]

   = (2n² +2n – 1)/3

∑ n⁵ = k_n ∑ n³ = [(2n² +2n – 1)/3] [n(n+1)/2]²

∑ n⁶ = k_n ∑ n²    என்று கொள்வோம்.

n          ∑ n²               ∑ n⁶             k_n                    Δ k_n                                                                         …………………………………………………………………………..

                    1               1                      1            1              ……

                   2                5                    65          13             12 = 84/7

                  3                14                  794         397/7       306/7

                  4                30                 4890        163           744/7          

                  5                55                 20515       373         1470/7           

               ……………………………………………………………………………..

k_n  = 1 + (6/7) [14+51+124+245+…….]  = (3n⁴ +6n³ –3n + 1)/7

∑ n⁶ = k_n ∑ n² = [(3n⁴ +6n³ –3n + 1)/7][n(n+1)(2n+1)/6]