Beal's relation

பீல் தொடர்புகளின் பயன்கள்

(1) பீல் தொடர்புகள் வெறும் மடியெண்களால் ஆன சமன்பாடுகளே.   ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில்  ஒரு குறிப்பிட்ட மடியெண்ணுடன் கூடிய மடிகளின் கூட்டுத் தொகையை . அதே குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலோ அல்லது வேறு எண்ணிக்கையிலோ , அதே குறிப்பிட்ட மடியெண்ணுடனோ அல்லது வேறு மடியெண்ணுடனோ கூடிய மடிகளின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமமாகக் காட்டும் மடியெண்களாலான சமன்பாடுகள் டையோபோன்டை ன்  சமன்பாடுகள் சமன்பாடுகளாகும். இவற்றுள் எண்ணற்ற வகைகள் உள்ளன . பீல் தொடர்புகள் சில வகையான டையோபோன்டை ன்  தொடர்புகளை எளிதாக நிறுவுகின்றன. இரு மும்மடிகளின் கூடுதலை  இரு நான்கு மடிகளின் கூடுதலாய் க் காட்டும்  எண் தொடர்புகளை பீல் தொடர்புகளைக் கொண்டு ஏற்படுத்தும் முறையைப் பற்றித் தெரிந்து கொள்வோம். அதற்க்கு இரு மும்மடிகளின் கூடுதலாய் ஒரு நான்கு மடியாகவும் , இரு நான்கு மடிகளின் கூடுதலை ஒரு மும்மடியாகவும் காட்டும் தொடர்புகளை த் தேர்வு செய்து கொள்ள வேண்டும். எகா:  9³ + 18³ = 9⁴   ;  44 + 44 = 83 . இரண்டையும் கூட்ட   33 R43  வகைக்குட்பட்ட எண்தொடர்பைப்  பெறலாம். 8³  + 9³ + 18³   = 4⁴ + 4⁴ +  9⁴   . இரண்டையும் பெருக்க  ₂³R⁴₂   வகைக் குட்பட்ட  எண் தொடர்பைப் பெறலாம். (9³ + 18³) x 8³= 72³ + 144³ = (4⁴ + 4⁴) x 9⁴ = 36⁴ + 36^4.

பொதுவாக  aⁿ + bⁿ = c^m  என்ற தொடர்பையும் x^m + y^m = zⁿ   என்ற தொடர்பையும்   கொண்டு aⁿ + bⁿ + zⁿ = c^m + x^m + y^m, (az)ⁿ + (bz)ⁿ = (cx)^m +  (cy)^m  போன்ற தொடர்புகளை வடிக்கலாம்

(2). பீல் தொடர்புகளைக் கொண்டு  ₃ⁿRⁿ₁   வகைத் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம். ஒரு சில அடிப்படைத்  தொடர்புகள் இதற்குப் பயன்படுகின்றன எகா  17 =  8.+ 9 இவற்றின் இருமடிகளின் வேறுபாடு இருமடியாக இருப்பதால் , ஒரு இருமடியை மூன்று இருமடிகளின் கூடுதலாகக்  காட்ட முடிகின்றது. 17² =8² + 9² + 12² .  இந்த அடிப்படைத் தொடர்பைக் கொண்டு நிறுவப்படும் எண் தொடர்புகள் இப் பண்பைக் கொண்டுள்ளன.

[17 =  8.+ 9] x 17⁶ à 17⁷ = 578³ + 14739²

(17⁷)² = (7⁶ x 8)² + ( 7⁶  x 9)² + (7⁶ x 12)²

2ab ஒரு இருமடியாக இருக்குமாறு a   மற்றும் b யின் மதிப்புக்களைத் தேர்வு செய்து கொண்டு அவற்றின் கூட்டலையே ஒரு அடிப்படைத் தொடர்பாகக் கொள்ள வேண்டும் , எடுத்துக்காட்டாக a = 4 , b = 8 எனில் 2ab = 64 = 8². 12 = 4 + 8 என்ற அடிப்படைத் தொடர்பு 12² = 4² + 8² + 8² என்ற எண் தொடர்பைத் தருகின்றது. 3ab (a+b) ஒரு மும்மடியாக a   மற்றும் b யின் மதிப்புக்களைத் தேர்வு செய்து கொண்டு அவற்றின் கூட்டலையே ஒரு அடிப்படைத் தொடர்பாகக் கொண்டால் ₃³R³₁ வகைத் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம்..