Fun with Mathematics

Fun with Mathematics Cube of a number The cube of a number can be expressed by many ways which have been illustrated in one of the previous articles under this title. Here is yet another property for cubes. It is found that the value of n3 – n [ = (n-1)n(n+1)] is always a multiple of 6, since 6 will always be a factor for the product of any three successive numbers. The multiple behaviour shows another inherent and unique property . This can be mathematically expressed as, a=0;x=α n3 - n = ∑ a(6x) a=n-1;x=1 13 = 0x6 + 1 = 1 23 = 1x6 + 2 = 8 33 = 2x6 + 1x12 + 3 = 27 43 = 3x6 + 2x12 + 1x18 + 4 = 64 53 = 4x6 +3x12 + 2x18 + 1x24 + 5 = 125 63 = 5x6 + 4 x12 + 3x18 + 2x24 + 1 x30 + 6 =216 This can also be expressed in terms of multiples of six where the multiplicand can be expressed as a sum in a systematic way. 13 – 1 = (0) 6 23 – 2 = (1) 6 33 – 3 = (2+2) 6 43 – 4 = (3+4+3)6 53 – 5 = (4+6+6+4)6 and so on.

Fun with Mathematics

Numeral relations of kind 2R²₂ with numbers ending with 1

One can construct numeral relations of kind 2R²₂ with numbers ending with any number. The general form for ^2R22 with numbers ending with 1 is given by

(10a+1)²  + (10b+ 1)²  = (10c +1)² + (10d+1)²

It can be shown that it will exist under the condition

(a-c)[5(a+c) +1] = (d-b)[5(b+d) +1]

By giving any desired number ending with 1 to a and c, the corresponding amicable values for b and d can be determined with the help of the above condition. For example, when a=7 and c= 1,we have,

6 x41 = 246 = (d-b)[5(d+b)+1] .246  can be expressed as the product of two factors in different ways- 1x246 ,2x123,3x82. Only suitable pair of factors will give integral solutions for b and d.

With 1 x 246 we get d =25 and b = 24 so that  71² + 241² = 11² + 251²

With other pairs of factors,we arrive at numeral relations with numbers ending with different digit.

With 2 x 123  we have, 71²  + 113²  = 11²   + 133²

3 x 82 gives , 71² +  67²   = 11²   +97²

From these relations we see that when two factors of a product remain same, one square root number

In either side of the relation is unaltered.  By subtracting one from the other ,one can generate more and more  2R²₂ relations. With the help of the above relations we get,

113² + 97² = 133² + 67²

241²+ 133² = 113² + 251²

241² + 97² = 67² + 251²

By following similar procedure, one can develop 2R²₂ relations with all square root numbers ending with 1. When a = 17,27,37,…..(10n +7) and c = 1 we get such relations.

 If a= 17 and c= 1, then b= 145 and d= 146

               171² + 1451² = 11² + 1461²

If a = 27 and c = 1, then b = 366 and d = 367,

271² + 3661² = 11² + 3671²

When a= 37 and c= 1 then, b = 687 and d= 688,

371² + 6871² = 11² + 6881²

One can generalize this method with the factors of  a product. The equivalent products of two factors and the conditions for a specific requirement are given by

      f₁ x f_{2 =} f₃ x f₄

(a-c)[5(a+c)+1] = (d-b)[5(b+d)+1]

By solving we arrive,

10a = f₂ – 1 +5f₁ ; 10b = f₄-1 -5f₃  ; 10c= f₂ -1 -5f₁ ; 10d = f₄-1 +5f₃

By substituting these values in the primary relations assumed, we get,

(f₂ +5 f₁)² + (f₄ – 5f₃)² = (f₂ – 5f₁)² + (f₄ + 5f₃)²

It implies that if the two factors of a product end with digits 1 and 6 respectively , one can generate quite a large number of 2R²₂ relations with all numbers end with 1.

 If 6x31= 1x186 ; 61² + 181² = 1² + 191²

     6 x 51 = 1 x 306 ; 81² + 301² = 21² + 311²

   6 x 61 = 1 x 366 ; 91² + 361² = 31² + 371²

By  adopting this simple procedure, one can generate 2R²₂ relation with all numbers ending with any particular digit. The 2R²₂ relation with square root numbers ending with n is given by

(10a+n)²  + (10b + n)² = (10 c + n )² + (10d + n)²  and the required condition is

(a-c)[5(a+c)+n] = (d-b) [5(b+d)+n]

Fun with Mathematics

More about Magical properties of Magic square

Magic squares of any order can be constructed with a set of numbers, so that its sum in rows,

columns and main diagonals will be same.  They have many curious mathematical properties. 

Such a magic square may be assumed that its small squares are uniformly filled with weights

Instead of numbers, (The magnitude of weight is exactly equal to the corresponding number).

When this magic square is pivoted at its CG, it is found that it is in an unstable equilibrium.

Under this condition, net moment about any symmetrical axis will be equal to zero. That is,

the clock wise moment will be equal to the anti-clock wise moment.

This can be verified with a typical example, a 3 x 3 magic square filled with natural numbers from

1 to 9.

                                                                                                      x

2	3½	3½	6
9	2½	2½	1
4	1½	1½	8

                                                                                                      y

With respect to the vertical axis xy , both the clock wise and anti-clock wise moment are equal and

is equal to 7½  X + 15 Y, where

X and Y  are the perpendicular distance from the axis xy to the CG of the component weight.

The equidistant rows and columns with respect to symmetrical axis are interchangeable, where as

odd row or column, if any,

will be common, The interchangeable columns and rows are having not only equal sum but also the

sum of their of squares will also be equal.

2+7+6= 4+3+8 = 15  and  

 2² + 7² + 6² = 4² + 3² + 8² = 89

 Since the middle column is common, its value is equally shared by both the interchangeable

columns. Considering this equal shares,

We have,

5½ + 11½ + 5½ = 9½ + 3½ + 9½ = 22½

The sum of their squares again equals

 2(5½)²  + (11½)²  = 2 (9½)² + (3½)² = 192.75

For the interchangeable rows,

6½+ 9½ + 6½  = 8½ + 5½ + 8½

2(6½)² + (9½)²  = 2 (8½)² +  (5½)² =  174.75

For a main diagonal (ascending), by cancelling out the moment due to weights in the common

diagonal, we have,

7(d/2) + 2d + 9(d/2) 1(d/2) + 8d + 3(d/2) = 10 d

Even though they are interchangeable sets ,they are not equidistant, and hence the sum of their

squares will not be same.

For any system under equilibrium, the moments with respect to any pair of vertical or horizontal axes

passing through edges will be equal.

Since the perpendicular distances between the reference axis and the weights in a row/column are

x,2x,3x , we can derive

For vertical axis ,right edge; 2x+14x + 18x =34x

                                               9x+10x+3x = 22x              or 2(34x) +22x = 90 x

                                               4x+6x+24x = 34x       

For vertical axis,left edge; 6x+14x+6x= 26x

                                            x+10x+27 x= 38X               or 2(26x) + 38x= 90 x

                                           8x +6x+ 12 x = 26x      

As the set of numbers is interchangeable and equidistant, we have the additional square relation

2(34)² + (22)² = 2 (26)² + (38)²  = 2796

The horizontal top and bottom axes give,

2(32x) + 26x = 2(28x) + 34x = 90x

2(32)² + (26)² = 2(28)² + (34)² = 2724

                

vinveliyil ulaa

நண்டு வடிவ நெபுலா

M 1  என்று மெசியர் படத் தொகுப்பில் முதலாவதாக  இடம் பெற்றுள்ள நண்டு வடிவ நெபுலா, சீட்டா (ζ ) டாரிக்கு மிக அருகாமையில் ,ஏறக்குறைய 

6500  ஒளி ஆண்டுகள்  தொலைவில் இருக்கிறது . இதை டாரெஸ் A  என்று

வானவியலார் குறிப்பிடுகின்றார்கள் .இந்த நெபுலாவின் விளிம்பில் 

காணப்படும் வரி இழைகள் , நண்டின் கால்கள் மற்றும் உணர் கொம்புகள் 

போலத் தோன்றுகின்றன .அதனால் இதை நண்டு வடிவ நெபுலா (Crab 

nebula ) என்று அழைப்பது வழக்கமாயிற்று . இதைத் தொலை நோக்கியால் 

மட்டுமே பார்க்க முடியும் .இது நீள் வட்டக் கோள வடிவில் ,விண்ணில் 

தோன்றும் ஒரு சூரியக் கோளுக்கும், முழு நிலவிற்கும் இடையே இருக்குமாறு 

உருவ அளவைக் கொண்டுள்ளது . இதை 1731  ல் இங்கிலாந்து நாட்டு 

மருத்துவரும் பொழுதுபோக்கு வானவியலாருமான  ஜான் பெவிஸ்  (John Bevis )

என்பாரும், 27  ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு பிரான்சு நாட்டு வால்மீன் ஆய்வாளரான 

சார்லஸ் மெசியரும் தனித்தனியாகக் கண்டுபிடித்தனர் .  

 

நண்டு வடிவ நெபுலா உண்மையில் நெடுங்காலத்திற்கு முன்பு விண்மீனாக
இருந்து ஆற்றலையெல்லாம் உமிழ்ந்து ஓய்ந்தபின் ,வெடித்துச் சிதறிச் தோன்றிய எச்சம்.
இதற்கான ஆதாரங்களை வானவியலார் திரட்டியுள்ளனர். இது வானவியலில்
ரேடியோ வானவியல் என்று கிளை தோன்றிய பின்னரே இயலுவதாயிற்று .

தொடக்க காலத்தில் விண்வெளியை கட்புலனறி ஒளியால் மட்டுமே ஆராய்ந்து அறிந்தனர். .இதன் நடைமுறை ,இரண்டாம்
உலகப் பெரும் போருக்குப் பின்னர் வியத்தகு மாற்றத்திற்கு உள்ளானது .இரண்டாம் உலகப் போர் பலத்த சேதத்தை விளைவித்தது என்றாலும் .கெட்டதிலும் ஒரு நல்லது
இருக்கும் என்பதற்கு ஏற்ப ,அதனாலும் ஒரு பயன் கிடைக்கப் பெற்றது 

இரண்டாம் உலகப் போரின் போது மாற்றி யோசித்த சில விஞ்ஞானிகள் ,பறக்கும்
விமானங்களைத் துப்பறியும் இராடர் என்ற சாதனத்தைக் கண்டுபிடித்தனர் .1930 
களில் நியூ ஜெர்சியிலுள்ள  பெல் ஆராய்ச்சிக் கூடத்தைச் சேர்ந்த காரல் ஜான்ஸ்கை
(Karl  Jansky ) என்பார் விண்வெளியிலிருந்து  வரும் ரேடியோ அலைகளை பூமியிலிருந்து
கொண்டும் ஆராயும் வாய்ப்புகளைப் பற்றி தெரிவித்திருந்தாலும் ,அதன் செய்முறை
போர் ஓய்ந்த பின்னரே வளர்ச்சி பெற்றது.
போரின் போது வேவு பார்க்க நிர்மாணிக்கப்பட்ட இராடர் அமைப்புகளில், எவ்வளவு கவனமாக
இருந்தபோதிலும் சமிக்கை அலைகளில் குறுக்கீடுகள்  எப்போதும் இருந்து கொண்டே இருந்தன . இதற்கு என்ன காரணம் என்பதை அறியாது சில காலம் குழம்பிப்
போன விஞ்ஞானிகள் பின்னர் இது சூரியனிலிருந்து வரும் ரேடியோ அலைகளான
இரைச்சலே இடையூறு செய்கிறது எனத் தெரிந்து கொண்டனர். இதன் பின்னரே விண்வெளியை
கட்புலனுக்கு உட்படாத ரேடியோ அலைகள் மூலம் ஆராய முடியும் என்ற உண்மையை
புரிந்து கொண்டனர் .1950  களில் இராடர் மூலம் ,கட்புலனறி  ஒளியை விடக் கூடுதல்
அலை நீளமுடைய ரேடியோ அலைகளைக் கொண்டு பேரண்டத்தை அலசி ஆராயும் முறை
தோன்றியது.
ரேடியோ வானவியல் ,கட்புலனறி ஒளி சார்ந்த வானவியலை விட ,சில அனுகூலங்களைக்
கொண்டுள்ளது .சூரிய ஒளியிலுள்ள நீல நிறம் பூமியின் வளி மண்டலத்தில் அதிகமாகச்
சிதறல டைவதால் , வானம் நீல நிறமாகக் காட்சி தருகிறது. என்பது ராமன் விளைவு. .
இதனால் விண்வெளியில் விண்மீன்கள் இருந்தாலும் பகல் பொழுதில் அவற்றைக்
காண முடிவதில்லை .சூரிய ஒளியிலுள்ள சிவப்பு நிறம் ,நீல நிறம் போல சிதறலடைவதில்லை.
அதனால் சூரியன் மறையும் போது   வானம் சிவப்பாகத் தோன்றுகிறது . ஆய் கருவி
நேரடியாகச் சூரியனைப் பார்க்காத வரை ,இது போன்ற ஒளிச் சிதறல் ,ரேடியோ அலை நீள
நெடுக்கையில் ஏற்பட்டு 
பாதிப்பை ஏற்படுத்துவதில்லை .இதனால் ரேடியோ வானவியல் மூலம் 24  மணி நேரமும்
வானத்தை ஆராய முடிகிறது.

 

Fun with Mathematics

The last digit of number and its  power numbers

The following table gives an idea about the last digit of the first few natural

numbers and its power up to 10

n      n¹      n²      n³    n⁴      n⁵      n⁶      n⁷      n⁸      n⁹   

1      1        1        1      1       1        1        1       1        1

2      2        4        8       6       2        4        8       6        2

3      3        9        7       1       3       9       7        1        3

4      4        6        4       6       4       6       4         6        4

5      5        5        5       5       5       5       5        5         5

6      6        6        6       6       6       6       6        6         6

7      7        9        3       1       7       9       3        1         7

8      8        4        2       6       8       4       2        6         8

9      9        1        9       1       9       1       9        1         9

10    0        0        0       0       0       0       0        0        0

It is noted that

Last digit of  n^x = last digit of  n ^{x +4y}  

Where n, x and y are all any whole numbers It is found that the last digit of a number invariably

exists  at all of its  power  equal to (1+4y).The number ending with 0,1,5 and 6 has same digital ending for all of its power . The numbers ending with 4 and 9 have one digital ending for its odd power and another digital ending for its even power.

 

Fun with mathematics

A derived property from a power relation

Any three numbers can be made to be equal to any three other
numbers with a simultaneous condition that the sum of their
squares are equal.
a+b+c = x+y+z
and
a^2 +b^2+c^2 = x+2 + y^2 + z^2
It gives yet another condition
ab+bc+ca = xy+yz+zx
This numeral relation has many specific properties. It is found that
a^n+b^n+c^n =/= x^n+y^n+z^n
for n greater than or equal to 3. However the difference
|(a^n+b^n+c^n) - (x^n+y^n+z^n)|
is divisible by n . It provides a te4st for divisibility of a number by
n. Even though it is very complex ,it is unique.

One of the general solutions satisfying the two initial conditions
simultaneously is [(x-a),(x-b),(x+a+b)] and [(x+a),(x+b),(x-a-b)],
where x,a,b are all arbitrary numbers.Then,
(x+a)^n + (x+b)^n +[x-(a+b)]^n = 3x^n + nC2 x^n-2[a^2+b^2+(a+b)^2] +
nC3 x^n-3 [a^3+b^3-(a+b)^3+ .......... [a^n+b^n+(-1)^n(a+b)^n
and
(x-a)^n+(x-b)^n+ (x+a+b)^n= 3x^n+ nC2 x^n-2 [(a+b)^2 + a^2+b^2] +
+nC3 x^n-3 [(a+b)^3 -a^3-b^3]+........ [(a+b)^n+ (-1)^na^n+ (-1)^nb^n]
Subtracting one from the other
 It gives,
2 nC3 x^n-3 [(a+b)^3 - a^3 -b^3] + 2 nC5 [(a+b)^5 - a^5 - b^5] +......
It is noted that each term is divisible by 2 and n.
If n = 3;     6 [ab(a+b)]
n=4 ; 24x  ab(a+b)n=5; 60 x^2[ab(a+b)] + 10 (a^4b+2a^3b^2+2a^2b^3+ ab^4)
n=6; 120 x^3[ab(a+b)] +60x (a^4b+2a^3b^2+2a^2b^3+ab^4)