Mixed power relations-4

Mixed power relations-4

Another associated property of the relation a² + b² + c² = 2 d is  d+ xy = (x+y)² = c²

1² + 12²  + 13²  = 2 x 157 ; 157 + 1x12 = 169 = 13²

2² + 11² + 13² = 2 x 147 ; 147 + 2x11 = 169 = 13²

3² + 10² + 13² = 2 x 139 ; 139 + 3 x 10 = 169 = 13²

4² + 9²  + 13² = 2 x 133 ; 133 + 4x9 = 169 = 13²

5²  + 8²  + 13² = 2 x129 ; 129 + 5 x8 = 169 = 13²

6²  + 7²  + 13²  = 2 x127 ; 127 + 6x7 = 169 = 13²  

Mixed power relations-3

Mixed power relations -3

 Sum of three fourth powers where  the greatest number is the sum of the  two other numbers is always associated with a square .

a⁴  + b⁴  + c⁴  = 2 d²   where a + b = c

If d is a square number (d = e²) it can also be expressed as a⁴  + b⁴  + c⁴  = 2 e^4. This is exemplified with a typical example

1⁴ + 7⁴ +  8⁴  = 6498 = 2 x 57²

2⁴  + 6⁴  + 8⁴ = 5408 = 2 x 52² = 2⁵ x 13²  

3⁴ + 5⁴ + 8⁴ = 4802 = 2 x 49²  = 2 x 7⁴

4⁴  + 4⁴  + 8⁴ = 4608 = 2 x 48² = 2 x 12²

 Some other examples are

7⁴  +  8⁴ + 15⁴  = 2 x 13⁴

5⁴ + 16⁴ + 21⁴ = 2 x 19²

9⁴ + 15⁴ + 24⁴ = 2 x 21²

11⁴  + 24⁴ + 35⁴ = 2 x 31²

14⁴ + 16⁴ + 30⁴ = 2 x 26²

21⁴ + 30⁴ + 56⁴ = 2 x 49⁴

Another interesting property of this relation a⁴  + b⁴  + c⁴  = 2 d²   where a + b = c  is 

a² + b² + c² = 2 d

1² + 7²  + 8² = 114 = 2 x 57

2²  + 6²  + 8²  =  2 x 52

It gives.

2(a⁴  + b⁴  + c⁴ )  = (2d)²  = (a² + b² + c²)²

Mixed power relations-2

Mixed power relations-2

The sum of four different power of any successive four numbers has shown yet another regularity in its structure.

1 +  2²  + 3³  + 4⁴  =   288   =   3 x 4² x 6

2 +  3²  + 4³  + 5⁴  =   700   =   4 x 5²  x 7

3  + 4²  +  5³ +  6⁴  =  1440 =  5 x 6²  x 8

4  +  5²  + 6³  + 7⁴  =  2646 =  6 x 7²  x 9 

5  +  6²  + 7³  + 8⁴  =   4480 =  7 x  8² x  10 

In general this can  be expressed as

(x-3) + (x-2)²  + (x- 1)³   + x⁴  = (x-1) x²  (x+2)

Mixed power relation-1

Mixed power relations-1

It is interesting to note the rhythmic feature in   the following  numeral  relations.

1 + 2²  + 3³  =  32 = 2  x  4²

2 + 3²  + 4³  = 75 =  3 x 5 ²

3 + 4² + 5³ = 144 = 4 x 6¹

4 + 5² + 6³  = 245 = 5 x 7²

5 + 6² + 7³  = 384 = 6 x 8²

 In general it can be written as.

X  + (x+1)²  + (x+2)³ = (x+1) (x+3)²

Fun with Numbers

Equal sums of fourth  powers 

Sum of two fourth powers  of whole number  can be made to equal with two other fourth powers of whole numbers.  

  a⁴  + b⁴  = c⁴  + d⁴  where a,b,c and d are whole numbers.

The fourth power of a number is always equal to some multiples of 12 plus  a square number less than 10.

1⁴   = 1 =   12(0) + 1

2⁴   =  16 =  12(1) +  4

3⁴   = 81 =  12(6) + 9

4⁴  = 256 = 12(21) + 4

5⁴ = 625 = 12 (52) + 1

6⁴   = 1296 = 12(108) + 0 

7⁴  = 2401 = 12(200) + 1

8⁴  = 4096 = 12 (341) +4

9⁴   = 6561 = 12(546) + 9

10⁴  = 10000 = 12(83) + 4

11⁴  = 14641 = 12(1220) + 1

12⁴  = 20736 = 12(1728) + 0

Euler gave the smallest possible solution for the equal sums  of two fourth powers.

59⁴  + 158⁴  = 1334   + 134⁴ ; [59,158]⁴  = [133,134]⁴

The other solutions pointed out by him are

2903⁴ + 12231⁴  = 10203⁴ + 10381⁴ ; [ 2903,12231]⁴  = [10203,10381]⁴

555617⁴ + 2219449⁴ = 1584749⁴ + 2061283⁴ ; [555617,2219449]⁴ = [1584749,2061283]⁴

There are infinite number of solutions.Some of them are given here.

[76,1203]⁴  = [653,1176]⁴

[7,239]⁴ = [157,27]⁴

[193,292]⁴ = [256,257]⁴

[529,17332]⁴ = [6673,17236]⁴

[2338,3351]⁴ = [1623,3494]⁴

[6481,32187]⁴ = [23109,29812]⁴

{2513,40540]⁴ = [11888,40465]⁴

[7805,174484]⁴ = [125516,161405]⁴

[15322,89345]⁴ = [59678,84545]⁴

[20733,287394]⁴ = [67429,287178]⁴

[31238,419909]⁴ = [81659,419762]⁴

[31494,53935]⁴ = [35710,52881]⁴

[44422,63669]⁴ = [30837,66386]⁴

[155713,2129096]⁴ =[352321,2128712]⁴

[520640,691859]⁴  = [232484,739885]⁴

[629624,9822967]⁴ = [1112777,9822604]⁴

[170627,2420163]⁴ = [347774,2420406]⁴

[680101,10098310]⁴ = [1280101,10097710]⁴

[108201,480032]⁴ = [345588,444311]⁴

[3197510,11577973]⁴ = [8866315,10443598]⁴

[16305012,21173779]⁴ =[261008,22830381]⁴

[9052984,12912057]⁴ = [3013151,13621832]⁴

[1959622,2946291]⁴ = [1965454,2944563]⁴

[4329381,121829760]⁴ = [54401256,15567465]⁴

A sum of three squares can be made to be a square. e.g.,

1² + 2² + 2²  = 3²

2² + 3² + 6² = 7²

3² + 4² + 12²  = 13²

4² + 5² + 20² = 21²

5² + 6² + 30²  = 31²

6² + 7² + 42² = 43²

In general  (1+n)² + (2+n)² + (1+n)²(2+n)² = [(n+1)(n+2) +1]²

It is found that (1+n)⁴ + (2+n)⁴ + (1+n)²(2+n)⁴ is divisible by (n+1)(n+2) + 1

1⁴ + 2⁴ + 2⁴  = 33 = 3 x 11

2⁴  + 3⁴ + 6⁴ = 1393 = 7 x 199

3⁴  + 4⁴ + 12⁴ = 21073 = 13(1621)

4⁴ + 5⁴ + 20⁴ = 160881 = 21(7661)

Fun With Numbers

Fun With Numbers

Irreducible relations with equal sum of two squares can be generated from the following general expression

(P₀₂P₀₄ + P₀₁P₀₃)²  + (P₀₁P₀₄  –  P₀₂P₀₃)²  =  (P₀₂P₀₄  --  P₀₁P₀₃)²  + (P₀₁P₀₄  +  P₀₂P₀₃)²

Where P₀₁,P₀₂,P₀₃,P₀₄ are any four prime numbers. Compound numbers may also be taken, but sometimes it gives reducible set.

Interchange of any pair of prime numbers will not affect the balanced state of the relation. The equality is still preserved when all the prime numbers are expressed with same power

(P₀₂²P₀₄² + P₀₁²P₀₃²)² + (P₀₁²P₀₄² – P₀₂²P₀₃²)² = (P₀₂²P₀₄² - P₀₁²P₀₃²)² + (P₀₁²P₀₄² + P₀₂²P₀₃²)²

(P₀₂ⁿP₀₄ⁿ + P₀₁ⁿ P₀₃ⁿ)² + ( P₀₁ⁿP₀₄ⁿ  -- P₀₂ⁿP₀₃ⁿ)² = (P₀₂ⁿP₀₄ⁿ - P₀₁ⁿ P₀₃ⁿ)² + ( P₀₁ⁿP₀₄ⁿ  + P₀₂ⁿP₀₃ⁿ)²

When P₀₁ = 1,P₀₂= 2,P₀₃= 3,P₀₄=5; 13² + 1¹ = 7² + 11²

            P₀₁ = 3,P₀₂= 2,P₀₃= 1,P₀₄=5; 13² + 13² = 7² + 17²

                P₀₁ = 3,P₀₂= 1,P₀₃= 5,P₀₄=2 ; 17² + 1² = 13² + 11²

While the relation with squares of prime numbers gives,

When P₀₁ = 1,P₀₂= 2,P₀₃= 3,P₀₄=5;  109² + 11² = 91² + 61²

            P₀₁ = 3,P₀₂= 2,P₀₃= 1,P₀₄=5; 109² + 221² = 91² + 229²

           P₀₁ = 3,P₀₂= 1,P₀₃= 5,P₀₄=2 ;229² + 11² = 221² + 61²