Fun with Numbers

Equal sums of fourth  powers 

Sum of two fourth powers  of whole number  can be made to equal with two other fourth powers of whole numbers.  

  a⁴  + b⁴  = c⁴  + d⁴  where a,b,c and d are whole numbers.

The fourth power of a number is always equal to some multiples of 12 plus  a square number less than 10.

1⁴   = 1 =   12(0) + 1

2⁴   =  16 =  12(1) +  4

3⁴   = 81 =  12(6) + 9

4⁴  = 256 = 12(21) + 4

5⁴ = 625 = 12 (52) + 1

6⁴   = 1296 = 12(108) + 0 

7⁴  = 2401 = 12(200) + 1

8⁴  = 4096 = 12 (341) +4

9⁴   = 6561 = 12(546) + 9

10⁴  = 10000 = 12(83) + 4

11⁴  = 14641 = 12(1220) + 1

12⁴  = 20736 = 12(1728) + 0

Euler gave the smallest possible solution for the equal sums  of two fourth powers.

59⁴  + 158⁴  = 1334   + 134⁴ ; [59,158]⁴  = [133,134]⁴

The other solutions pointed out by him are

2903⁴ + 12231⁴  = 10203⁴ + 10381⁴ ; [ 2903,12231]⁴  = [10203,10381]⁴

555617⁴ + 2219449⁴ = 1584749⁴ + 2061283⁴ ; [555617,2219449]⁴ = [1584749,2061283]⁴

There are infinite number of solutions.Some of them are given here.

[76,1203]⁴  = [653,1176]⁴

[7,239]⁴ = [157,27]⁴

[193,292]⁴ = [256,257]⁴

[529,17332]⁴ = [6673,17236]⁴

[2338,3351]⁴ = [1623,3494]⁴

[6481,32187]⁴ = [23109,29812]⁴

{2513,40540]⁴ = [11888,40465]⁴

[7805,174484]⁴ = [125516,161405]⁴

[15322,89345]⁴ = [59678,84545]⁴

[20733,287394]⁴ = [67429,287178]⁴

[31238,419909]⁴ = [81659,419762]⁴

[31494,53935]⁴ = [35710,52881]⁴

[44422,63669]⁴ = [30837,66386]⁴

[155713,2129096]⁴ =[352321,2128712]⁴

[520640,691859]⁴  = [232484,739885]⁴

[629624,9822967]⁴ = [1112777,9822604]⁴

[170627,2420163]⁴ = [347774,2420406]⁴

[680101,10098310]⁴ = [1280101,10097710]⁴

[108201,480032]⁴ = [345588,444311]⁴

[3197510,11577973]⁴ = [8866315,10443598]⁴

[16305012,21173779]⁴ =[261008,22830381]⁴

[9052984,12912057]⁴ = [3013151,13621832]⁴

[1959622,2946291]⁴ = [1965454,2944563]⁴

[4329381,121829760]⁴ = [54401256,15567465]⁴