Mixed power relations-4

Mixed power relations-4

Another associated property of the relation a² + b² + c² = 2 d is  d+ xy = (x+y)² = c²

1² + 12²  + 13²  = 2 x 157 ; 157 + 1x12 = 169 = 13²

2² + 11² + 13² = 2 x 147 ; 147 + 2x11 = 169 = 13²

3² + 10² + 13² = 2 x 139 ; 139 + 3 x 10 = 169 = 13²

4² + 9²  + 13² = 2 x 133 ; 133 + 4x9 = 169 = 13²

5²  + 8²  + 13² = 2 x129 ; 129 + 5 x8 = 169 = 13²

6²  + 7²  + 13²  = 2 x127 ; 127 + 6x7 = 169 = 13²  

Mixed power relations-3

Mixed power relations -3

 Sum of three fourth powers where  the greatest number is the sum of the  two other numbers is always associated with a square .

a⁴  + b⁴  + c⁴  = 2 d²   where a + b = c

If d is a square number (d = e²) it can also be expressed as a⁴  + b⁴  + c⁴  = 2 e^4. This is exemplified with a typical example

1⁴ + 7⁴ +  8⁴  = 6498 = 2 x 57²

2⁴  + 6⁴  + 8⁴ = 5408 = 2 x 52² = 2⁵ x 13²  

3⁴ + 5⁴ + 8⁴ = 4802 = 2 x 49²  = 2 x 7⁴

4⁴  + 4⁴  + 8⁴ = 4608 = 2 x 48² = 2 x 12²

 Some other examples are

7⁴  +  8⁴ + 15⁴  = 2 x 13⁴

5⁴ + 16⁴ + 21⁴ = 2 x 19²

9⁴ + 15⁴ + 24⁴ = 2 x 21²

11⁴  + 24⁴ + 35⁴ = 2 x 31²

14⁴ + 16⁴ + 30⁴ = 2 x 26²

21⁴ + 30⁴ + 56⁴ = 2 x 49⁴

Another interesting property of this relation a⁴  + b⁴  + c⁴  = 2 d²   where a + b = c  is 

a² + b² + c² = 2 d

1² + 7²  + 8² = 114 = 2 x 57

2²  + 6²  + 8²  =  2 x 52

It gives.

2(a⁴  + b⁴  + c⁴ )  = (2d)²  = (a² + b² + c²)²

Mixed power relations-2

Mixed power relations-2

The sum of four different power of any successive four numbers has shown yet another regularity in its structure.

1 +  2²  + 3³  + 4⁴  =   288   =   3 x 4² x 6

2 +  3²  + 4³  + 5⁴  =   700   =   4 x 5²  x 7

3  + 4²  +  5³ +  6⁴  =  1440 =  5 x 6²  x 8

4  +  5²  + 6³  + 7⁴  =  2646 =  6 x 7²  x 9 

5  +  6²  + 7³  + 8⁴  =   4480 =  7 x  8² x  10 

In general this can  be expressed as

(x-3) + (x-2)²  + (x- 1)³   + x⁴  = (x-1) x²  (x+2)

Mixed power relation-1

Mixed power relations-1

It is interesting to note the rhythmic feature in   the following  numeral  relations.

1 + 2²  + 3³  =  32 = 2  x  4²

2 + 3²  + 4³  = 75 =  3 x 5 ²

3 + 4² + 5³ = 144 = 4 x 6¹

4 + 5² + 6³  = 245 = 5 x 7²

5 + 6² + 7³  = 384 = 6 x 8²

 In general it can be written as.

X  + (x+1)²  + (x+2)³ = (x+1) (x+3)²

Fun with Numbers

Equal sums of fourth  powers 

Sum of two fourth powers  of whole number  can be made to equal with two other fourth powers of whole numbers.  

  a⁴  + b⁴  = c⁴  + d⁴  where a,b,c and d are whole numbers.

The fourth power of a number is always equal to some multiples of 12 plus  a square number less than 10.

1⁴   = 1 =   12(0) + 1

2⁴   =  16 =  12(1) +  4

3⁴   = 81 =  12(6) + 9

4⁴  = 256 = 12(21) + 4

5⁴ = 625 = 12 (52) + 1

6⁴   = 1296 = 12(108) + 0 

7⁴  = 2401 = 12(200) + 1

8⁴  = 4096 = 12 (341) +4

9⁴   = 6561 = 12(546) + 9

10⁴  = 10000 = 12(83) + 4

11⁴  = 14641 = 12(1220) + 1

12⁴  = 20736 = 12(1728) + 0

Euler gave the smallest possible solution for the equal sums  of two fourth powers.

59⁴  + 158⁴  = 1334   + 134⁴ ; [59,158]⁴  = [133,134]⁴

The other solutions pointed out by him are

2903⁴ + 12231⁴  = 10203⁴ + 10381⁴ ; [ 2903,12231]⁴  = [10203,10381]⁴

555617⁴ + 2219449⁴ = 1584749⁴ + 2061283⁴ ; [555617,2219449]⁴ = [1584749,2061283]⁴

There are infinite number of solutions.Some of them are given here.

[76,1203]⁴  = [653,1176]⁴

[7,239]⁴ = [157,27]⁴

[193,292]⁴ = [256,257]⁴

[529,17332]⁴ = [6673,17236]⁴

[2338,3351]⁴ = [1623,3494]⁴

[6481,32187]⁴ = [23109,29812]⁴

{2513,40540]⁴ = [11888,40465]⁴

[7805,174484]⁴ = [125516,161405]⁴

[15322,89345]⁴ = [59678,84545]⁴

[20733,287394]⁴ = [67429,287178]⁴

[31238,419909]⁴ = [81659,419762]⁴

[31494,53935]⁴ = [35710,52881]⁴

[44422,63669]⁴ = [30837,66386]⁴

[155713,2129096]⁴ =[352321,2128712]⁴

[520640,691859]⁴  = [232484,739885]⁴

[629624,9822967]⁴ = [1112777,9822604]⁴

[170627,2420163]⁴ = [347774,2420406]⁴

[680101,10098310]⁴ = [1280101,10097710]⁴

[108201,480032]⁴ = [345588,444311]⁴

[3197510,11577973]⁴ = [8866315,10443598]⁴

[16305012,21173779]⁴ =[261008,22830381]⁴

[9052984,12912057]⁴ = [3013151,13621832]⁴

[1959622,2946291]⁴ = [1965454,2944563]⁴

[4329381,121829760]⁴ = [54401256,15567465]⁴