FLT New Proof

ராமானுஜன் (Ramanujan) தேற்றமும் ₃R³₁  வகைச் சமன்பாடும்

ஒரு தொடர்பில் உள்ள எண்களைக் கொண்டே புதிய எண் தொடர்புகளை உருவாக்க    நேரியல் சேர்க்கை (linear combination) என்ற வழிமுறையைப்  பின்பற்றலாம் . இதைத்.தொடர்பின் தன்னின  இனப் பெருக்கம் (self generation) என்பர். மடியெண் அதிகரிக்க அதிகரிக்க  வழிமுறை மேலும் மேலும் சிக்கலுள்ளதாகும்  என்பதால்  a³  + b³  = c³  + d³ என்ற தொடர்பை இவ் வழிமுறைக்கு உட்படுத்தி  புதிய தொடர்பைப் பெறும் வழிமுறையைப் பற்றி அறிவோம்.   

[9,10 = 1,12]³  என்ற எளிய தொடர்பை எடுத்துக்கொள்வோம்

    (9x + y)³ + (10x + 12y)³  = ( x + 10y)³  + (12x +9y)³

x³, y^{3 .} ன் குணகங்கள் (coefficients) சமன்பாட்டின் இருபக்கங்களில் சமமாக இருப்பதால் அவற்றை விட்டுவிடலாம். இத்தொடர்பு சமமாக இருக்க வேண்டுமெனில்  y = (25/377) x என்ற மதிப்பைப் பெற்றிருக்க வேண்டும். இம் மதிப்பை பதிலீடு செய்து [3418,4070 = 4749,627]³   என்ற புதிய எண் தொடர்பைப் பெறலாம். (9x + y)³ + (10x + 12y)³  = (9 x + 10y)³  + (10x +9y)³  என்ற தொடர்பு y = - (143/87) x என்ற மதிப்பையும். [640,647,417 = 846]³  என்ற  எண் தொடர்பையும், (9x + y)³ + (10x + y)³  = (9 x + y)³  + (10x +y)³  என்ற தொடர்பு y = - 6 x என்ற மதிப்பையும். [3,4,5=6]³   என்ற  எண் தொடர்பையும் தருகின்றன.

இவ்வழிமுறையால் ₃R³₁  வகைத் தொடர்புகளைக் கொண்டு தன்னின இனப்பெருக்கத்தால் புதிய தொடர்புகளைப் பெற முடியும் . [1.6.8=9]³  என்ற எண் தொடர்பைக் கொண்டு

(x +6y)³ + (6x+8y)³ + (8x+y)³ = (9x +9y)³ = 729 (x+y)³  

x³, y^{3 .} ன் குணகங்கள் இரு பக்கமும்  சமமாக இருப்பதால் அவற்றை விட்டுவிடலாம். 3 பொதுக்காரணியாக இருப்பதால் அதையும் நீக்கிவிடலாம். இது  y  = - (53/43) x என்ற தீர்வையும், [166, 275 = 90,291]³ என்ற எண் தொடர்பையும் தருகின்றது.

ஒரு சமயம் ராமானுஜன் இரு மும்மடிகளின் கூட்டுத் தொகையை   இரு வேறு மும்மடிகளின் கூட்டுத் தொகையாகக் காட்டும் மிகச் சிறிய எண் 1729  என்று கூறி அதை 1729 = 9³   +   10³    =   1³  +  12³  என்று குறிப்பிட்டுக்காட்டினார் . ராமானுஜன் இத்தகைய எண் தொடர்புகளுக்கான ஒரு பொதுச் சமன்பாட்டை நிறுவியுள்ளார் (பக்கம் 266 ,தொகுதி  II NBSR  ராமானுஜன்  நோட்டுப்புத்தகம்  2 ). p,q,r  என்ற மூன்றின் மதிப்புக்களும், சார்பிலா  மதிப்புள்ள a,b ஆல் ஆன ஒரு இருமடியோடு [(a+b)² ] தொடர்புபடுத்தி

 p = (a+b)²  - 3a²   ; q = (a+b)² – 3ab ; r = (a+b)²  - 3b² .இத் தொடர்புகள்  q – p = 3a(a-b) , r - q = 3b(a-b)  போன்ற துணைத் தொடர்புகளைத் தருகின்றன. m,n  என்ற சார்பிலா இரு எண்கள் நிபந்தனைக்குட்பட்டp,q,r இவற்றின் நேரியல் சேர்க்கைகளின்   மும்மடிகளுடனான ஒரு தொடர்பைத் தருகின்றது.

                  m (mq +nr)³  +  n (mp+nq)³   =   m (np + mq)³  + n (nq + mr)³

இத் தேற்றத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட  நேர்வு

  

       (3a² + 5ab – 5b² )³   + ( 4a² – 4ab + 6b²)³  +  (5a² – 5ab – 3b² )³  = (6a² – 4ab + 4b² ) ³

 

      a,b  க்கு முழு எண் மதிப்புக்களைக் கொடுத்து  ₃R³₁  வகைச் சமன்பாட்டிற்கான எண் தொடர்புகளைப்  பெறலாம். எண் தொடர்புகளுக்கான  சில எடுத்துக்காட்டுக்கள்

                                      a                   b           [a,b,c = d]³

                                      1                   0            [3.4.5= 6]³

                                                           2             [7,14,17= 20]³

                                                           3           [27,30,37 = 46]³

                                                           4           [54.57.63= 84]³ 

                                       2                  3          [ 3,36,37 = 46]³

                                       3                  1           [27,30,37=46]³ 

                                                         

a = b  என்ற நிலையில் இப் பொதுச் சமன்பாட்டில் உள்ள ஒரு கூறு எதிர்குறியுடையதாகி விடும்போது  ₂R³₂  வகைக்கான எண் தொடர்புகளைத் தருகின்றன மேலும் இரு பக்கங்களிலும் உள்ள இரண்டு மும்மடிகளும் சமமானவைகளாக இருக்கின்றன      

இச் சமன்பாட்டில் a,b யின் மதிப்புக்களை பரிமாற்றம் செய்துகொண்டாலும் எண் தொடர்பு மாறாதிருக்கின்றது. b = 0 , a = 1  என்ற நிபந்தனை சுருங்கா எண்   தொடர்புகளையும், a  யின் உயர் மதிப்புகள்  சுருங்கும் எண் தொடர்புகளையும் தருகின்றது

இத் தொடர்பில் இருக்கும் நான்கு உறுப்புக்களில் ஏதாவதொன்றை சுழியாக்கிக் கொண்டால் சார்பிலாதிருந்த a.b-  ன் மதிப்புக்கள்   ஒன்றையொன்று சார்ந்திருக்கின்றன. இவற்றுள் ஒன்றின் மதிப்பை முழு எண்ணாகக் கொண்டு மற்றொன்றின் மதிப்பை கணக்கிட்டால் அது எப்பொழுதும் கூறு படா எண்ணாகவோ அல்லது சிக்கல் எண்ணாகவோ இருக்கின்றது   அதனால் எண் தொடர்பில் உள்ள கூறுகளும் முழு எண்களால்  ஆன எண்களால் அமைவதில்லை . ராமானுஜனின் பொதுத் தொடர்பில் உள்ள முதல் கூறைச் சுழியாக்கினால் , a = (b/6) [ - 5 + √ 85] , b =3 எனக்கொண்டால்   a = (-5 + √ 85)/2 . இம் மதிப்புக்களை ப் பொதுத் தொடர்பில் பதிலீடு செய்ய

                        (194  - 16 √ 85)³  +  ( 148 - 20√ 85)³   =  (231 – 21 √ 85)³

என்ற எண் தொடர்பு மட்டுமே கிடைக்கின்றது. இது போல பொதுத் தொடர்பிலுள்ள பிற கூறுகளில் ஒன்றை சுழியாக்கினாலும் ₂R³₁   வகைத் தொடர்பாகச் சுருங்கும் எண் தொடர்புகளில் மூன்று எண்களும் முழு எண்களாக  இருப்பதேயில்லை. இது ₂R³₁    வகைத் தொடர்புகள் பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்திற்கு உட்பட்டிருக்கின்றன என்பதைத் தெளிவாகக் கூறுகின்றது. a³ + b³ + c³ = d³ என்ற தொடர்பில் a யைச் சுழியாக்கினால் (b³ + x) , (c³ + a³- x) என்ற  இரண்டும் முழு எண்களாலான மும்மடிகளாக  இருப்பதில்லை  முழு எண்களாலான₃R³₁    தொடர்பில்  ஒரு உறுப்பைச் சுழியாக்கினால்  பிற மூன்று உறுப்புக்களும் முழு எண்களாக அமைவதில்லை .என்ற உண்மை பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்திற்கு மற்றொரு நிரூபணமாகிறது       

ராமானுஜனின் பொதுத் தொடர்பு போல  யங் (J. Young) என்பாரின் தொடர்பும் இதையே உறுதிப்படுத்துகின்றது. இவருடைய ₃R³₁  வகைப் பொதுச் சமன்பாட்டில்  இருக்கும் நான்கு உறுப்புக்களும் p ,q  என்ற சார்பிலா இரு மாறிகளைக்(Variables)  கொண்ட கோவைகளாக இருக்கின்றன.

(p²+16pq-21q²)³ + (-p²+16pq+21q²)³ + (2p²-4pq+42q²)³ = (2p²+4pq+42q²)³

p.q விற்கு விருப்பம்போல எண் மதிப்புக்  கொடுத்து மும்மடிகளாலான எண் தொடர்புகளைப் பெறலாம்.

P=1;q=1;  36³  + 40³  = 48³  + 4³

P=2, q=1 ; 15³  + 49³  +  42³  = 58³

இதில் ஏதாவதொரு உறுப்பைச் சுழியாக்கி ₂R³₁   வகைப் பொதுச் சமன்பாடாக மாற்றலாம் . அப்போது p,q   இரண்டும்  ஒன்றையொன்று சார்ந்திருக்கிறது. அதில் ஏதாவதொன்றை முழு எண்ணாகக் கொண்டால்  மற்றொன்று கூறுபடா  அல்லது சிக்கலெண்ணாக மட்டுமே  இருக்கின்றது .இது  ₂R³₁   வகைப் பொதுச் சமன்பாட்டிற்கு  முழு எண்களாலான தீர்வு இல்லை என்பதையே உறுதிப்படுத்தின்றது

 

 வீட்டா (F.Vieta)  வின் பொதுத் தொடர்பும் இதே கருத்தை வலியுறுத்திக் கூறுகின்றது. a,b என்ற இரு சார்பிலா மாறிகளைக் கொண்டு ₃R³₁  வகைக்கான ஒரு பொதுத் தொடர்பை  வீட்டா நிறுவியுள்ளார் .

(a⁴  -2ab³)³  + ( a³b  + b⁴)³  + (2a³b  -  b⁴)³   = (a⁴ + ab³)³

a = 2, b = 1 எனில்  [12,9,15 = 18]³ à [4,3,5,= 6]³

a³ = 2b³   என்றபோது பொதுத் தொடர்பிலுள்ள முதல்  உறுப்பு சுழியாகி ₂R³₁  வகைக்கான தொடர்பாக மாற்றம் பெறுகின்றது . இவற்றுள் ஏதேனுமொன்று முழு எண்ணாக இருந்தாலும் மற்றொன்று கூறுபடா அல்லது சிக்கலெண்ணாகவே இருக்கின்றது. .அதனால்  உருமாற்றம் பெற்ற தொடர்பில் மடி மூல எண்களும் அப்படியே இருக்கின்றன. பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்திற்கு இது ஆதரவாக இருக்கின்றது.

அல்ஜீப்ராவைப் பயன்படுத்தி  ஒரு பொதுச் சமன்பாட்டை நிறுவி,  அதன் சமனுக்கான நிபந்தனையை ஏற்படுத்திக்கொண்டு தீர்வுசெய்து ₂R³₁  வகைத் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம்     

₂R³₂ வகையைச் சேர்ந்த (x +ma)³  - (x –ma)³  =[(x-na)/b + c]³  -  (x-na)/b – c ]³ என்ற ஒரு பொதுத் தொடர்பைக் கருதுவோம். இதில் x,a,b,c,m,n  முழு எண்களாலான மாறிகளாக இருக்கட்டும். மேலும்  b > 1 , m ≠ n ,  இச் சமன்பாடு  m³ a³  + 3max²  =  c³  + (3b/c²) (x-na)². c = mab²

என்ற நிபந்தனைத் தொடரபைத் தரும் . இது   x = (a/6n) [ m²b⁶ + (3n²  - m²) ] என்ற தீர்வைத் தருகின்றது. இம் மதிப்பை பதிலீடு  செய்து எடுத்துக் கொண்ட பொதுத் தொடர்பை m,n,b என்ற மூன்று சார்பிலா மாறிகளோடு மட்டுமே தொடர்புடைய  ஒரு அல்ஜீப்ரா தொடர்பை ஏற்படுத்திக் கொள்ள முடியும்.

{b[m²b⁶ + (3n²  - m²) + 6mn)]³ + [m² b⁶ + (3n²  - m²) – 6n² – 6mnb³]³ = {b[m²b⁶ + (3n²  - m²) - 6mn)]³ + [m² b⁶ + (3n²  - m²) – 6n²  + 6mnb³]³

சார்பிலா மாறிகளுக்கு விருப்பம்போல மதிப்புக்களைக் கொடுத்து  எண் தொடர்புகளைப் பெறலாம் .

                 m           n             b                                       [ a,b,c = d]³

                        1            2             2                 [45,126,147=174]³  à [ 15,42,49=58]³

                1            3             2                [108,144,180= 216]³ à [3.4.5=6]³

                2            3             2                [63,486,,513=630]³  à [ 7,54,57 = 70]³

               `1            4             2                [174,177,207= 270]³ à [ 58,59,69 = 90]³

                         2            4             2                [180,504,588= 696]³  à [ 15,42,40 = 58]³

                        3             4             2                [57,1086,1095= 1374]³  à [19,362,365= 458]³

 

இதிலுள்ள இரண்டாவது கூறை சுழியாக்கிக் கொண்டால்  m² b⁶ = 3n² + m² + 6mnb³

இதை ஒரு இருபடிச் சமன்பாடாகக் கொண்டு  b³ ஐ  தீர்வு செய்தால் b³ = (3n/m) ± (1/m) √ (12 n²  + m²)^.. b கூறுபடா எண்ணாகவும் , சிக்கலெண்ணாகவும் இருப்பதால், ₃R³₁   வகைச் சமன்பாட்டை  முழு எண்களாலான₂R³₁  வகைச் சமன்பாடாக மாற்ற முடியாது என்ற உண்மை பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்திற்கு மற்றொரு நிரூபணமாக இருக்கின்றது.

   

அல்ஜீப்ராவைப் பயன்படுத்தி ₂R³₂  வகைக்கான பொதுத் தொடர்புகளை விருப்பம்போல பல விதமாக அமைத்துக் கொள்ளலாம்.சமனின் அடிப்படையில் , தொடர்பிலுள்ள சார்பிலா மாறிகளுக்கிடையிலான தொடர்புகளை ஏற்படுத்திக்கொண்டு எண் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம்

எடுத்துக்காட்டாக,  (x - a )³  + ( x + a )³  = (x  - a + pn)³  + (x + a – qn)³ என்ற தொடர்பைக் கருதலாம்.p க்கும்  q க்கும் சில அனுகூலமான மதிப்புக்களையும்  n க்கு நிபந்தனைக்குட்டபட்ட மதிப்புக்களையும்  கொடுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, p = 9 , q = 1,  என்ற நிலையில்  

12nx² – [30 na – 123n²]x  + [ 12na²  -120n²a + 364 n³ ]  =  0

n = 3  எனக்கொண்டு x,a ன் மதிப்புக்களைத் தீர்வு செய்தால்

x = [(30a – 369) ±  3 √ 36a² -540a – 2343]/24

a = [45 ± √ [4368 + S² ]/6

இதில்  S² = 36 a² – 540a – 2343

n  = 3 க்கு  சில எளிய தீர்வுகளை S க்கு சில  அனுகூலமான மதிப்புக்களால் பெறமுடியும்

                         S          a                      x             [a.b.c =d]³

                                  11         56/3                       28/3           [28,53,75=84]³

                                                         79/12        [145,179,267 = 303]³

                                 31       59/3                16/3           [ 38,43,66=75]³

                                                 -14/5                     157/12       [79.245,357 = 393]³

                                64       137/6              127/6         [5.76,123=132]³

                      71        71/3               16/3          [26,55,78=87]³

                                                 -26/3               277/12      [7,317,,525=561]³

n -ன் உயர் மதிப்புகளுக்கான எண்தொடர்புகள்  சுருங்கி n  = 3 க்குரிய  எண் தொடர்புகளாகிவிடுகின்றன.

எந்தவொரு பொதுத் தொடர்பையும் நிபந்தனைக்கு உட்படுத்தி அதிலுள்ள ஏதாவதொரு உறுப்பைச் சுழியாக்கிக் கொள்ளலாம் . ஆனால் அப்படிச்  செய்யும் போது மடி மூல எண்கள் முழு எண்களாக இருப்பதில்லை.  இந்த உண்மையை அனைத்து பொதுத் தொடர்புகளும் விளக்குகின்றன . x = a  என்ற நிலையில்  தொடர்பிலுள்ள (x-a)  என்ற உறுப்பு சுழியாகி விடுகின்றது.  x = a = (30a -369) ± 3 √ ( 36a²  - 540a  - 2343) என்பதால்  2a² - 3a – 1092m= 0 . இது x = a = [ ±3 + √ 8745]/4 என்ற தீர்வையும் 27³  + [( -3 + √ 8745)/2]³  = [(3 + √ 8745)/2]³       என்ற எண் தொடர்பையும் தருகின்றது . a³ + b³ = c³ + d³ என்ற தொடர்பில்  a யை சுழியாக்கி (b³ + a³) யோ அல்லது (c³ – x) , (d³ – a³ + x) யோ முழு எண்களாலான மும்மடிகளாக்க முடிவதில்லை. .இதில்  a க்குப் பதிலாக b .c அல்லது d யை எடுத்துக் கொண்டாலும் முடிவில் மாற்றமில்லை..            

இரண்டு அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட மாறிகளின்றி  ஒரு மாறியின் வெவ்வேறு மடிகளைக் கொண்டு  ஜெரார்டின் (Gerardin) என்பார் ₂R⁴₂   வகைக்கான ஒரு பொதுத் தொடர்பை அறிந்துள்ளார்.

(a+3a²-2a³+a⁵+a⁷)⁴ + (1+a²-2a⁴-3a⁵+a⁶)⁴ =   (a-3a²-2a³+a⁵+a⁷)⁴ + (1+a²-2a⁴+3a⁵+a⁶)⁴

a=2 என்ற மதிப்புக்கு கொடுக்கும் போது ₂R⁴₂   வகைக்கு மிகச் சிறிய எண்தொடர்பைத் தருகின்றது

                                    158⁴   + 59⁴  = 134⁴  + 133⁴

இதில் முதலுறுப்பைச்  சுழியாக்கிக் கொண்டால்    a= 0 என்ற மதிப்பைத் தவிர்த்துக்கொண்டால் a -ன் மதிப்பு சுழியிலிருந்து -1  க்கு உட்பட்ட பின்ன மதிப்புக்களைப் பெற்றிருக்கின்றது . இரண்டாவது உறுப்பைச் சுழியாக்கிக் கொண்டால் a -ன் மதிப்பு சுழியிலிருந்து 1  க்கு உட்பட்ட பின்ன மதிப்புக்களைப் பெற்றிருக்கின்றது. எந்த நிலையிலும் முழு எண்களாலான எண் தொடர்பை ஏற்படுத்த முடிவதில்லை. பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம் 714,591,416,091,389 வரையிலான உயர் மடியெண்களுக்கும் உண்மையானது என்பதை கிரண்வில் (A.Cranville) என்பார்  கணனியின் உதவியோடு நிருபித்துள்ளார். இது அனந்தம் (infinity) வரையுள்ள மடிகளுக்கும் உண்மையானதே.ஏனெனில் n க்கு முழு எண்களாலான தீர்வுகளைத் தராத1 + qⁿ = rⁿ   என்ற தொடர்பு , n+1  மடிக்கும் தருவதில்லை. ₃R³₁  வகைப் பொதுத் தொடர்பிலுள்ள ஓர் உறுப்பை அதிலுள்ள சார்பிலா மாறியின்மதிப்பால் சுழியாக்கிக் கொண்டு ₂R³₁  வகைத் தொடர்பாக மாற்ற முடியாமை  பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்தை நிரூபிக்கின்றது

FLT New Proof

மும்மடி எண் தொடர்புகளின் பொதுப் பண்பும்  தீர்வும்

மும்மடி எண்கள் சில குறிப்பிட்ட பொதுப் பண்புகளைப் பெற்றுள்ளன. ஓரெண்ணின்  மும்மடிக்கும் (x³ )  மடி மூல எண்ணிற்கும் (x) உள்ள வேறுபாடு x³ – x = x ( x²  - 1)  = (x-1)x(x+1). இது இயலெண்  தொடரில்  அடுத்தடுத்துள்ள மூன்றெண்களின் பெருக்கல் என்பதால் அதற்கு 6  ஒரு பொதுக்காரணியாக இருக்கின்றது. இப்பண்பு x ன் எம்மதிப்பிற்கும்  (x-1)x (x +1) = 6n ஆக இருக்கும்  என்று தெரிவிக்கின்றது. எனவே மும்மடி எண்களை  x³ = 6n_x  + x  என்ற தொட ர்பால் குறிப்பிடலாம். மும்மடி எண்களின் இப் பண்பை  ₃R³₁  வகைச் சமன்பாடுகளில் பயன்படுத்தி பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்திற்கு அவை    உட்பட்டிருப்பதை உறுதி செய்யலாம்.

a³  + b³  + c³  = d³  என்ற பொதுத் தொடர்பில்  d  ன் மதிப்பு   a,b,c ன் மதிப்புக்களை விட அதிகமாக இருக்கும் என்றாலும் அவற்றின் கூட்டுத் தொகையை விடக்  குறைவாக இருக்கும்

                                                             d > a,b,c  ; d < a+b+c

எனவே  d = a +p = b + q = c+r  என்று கொள்ளலாம் . d = c + r  என்று வைத்துக்கொண்டு அதை பொதுச் சமன்பாட்டில் பதிலீடு செய்ய ,

          

                 a³  + b³  + c³  = d³

                      6(n_a + n_b + n_c) + (a+b+c) = 6n_d  + d = c+r

                a+b = 6(n_d – n_a – n_b – n_c) + r  =  6n + r

                a³  + b³  =(a+b)³  - 3ab (a+b) = (6n+r)³  - 3ab(6n+r)

மேலும்

                a³  + b³  + c³  = d³  = (c+r)³

                     a³  + b³  = r³ + 3cr(c+r)

இரு சமன்பாடுகளையும் ஒப்பிட,

               3c²r + 3cr² + r³  -  (6n+r)³  + 3ab(6n+r) = 0

இருபடிச் சமன்பாட்டை தீர்வு செய்து c  ன் மதிப்பை அறியலாம் . இது r , n , (a + b )  இவற்றின் மதிப்புக்களைச் சார்ந்திருக்கிறது.

c =- (r/2) ± (1/2r) [ r⁴ + 288n³  r +144 n²  r² + 24 n r³  - 4abr (6n+r) ]^1/2

              r            n          a+b           a³  + b³  + c³  = d³

             1             1            7                  [1,6,8=9]³

             1             2          13                  [3.10,18 = 19]³

                 1             3          19                  [2,17,40 =41]³

                   1             4           25                தொடர்பு இல்லை 

             1             5          31                 [12,19,53=54]³

             1             6          37                 [14,23,70 = 71]³

                 1             7          43                 [12,31,102=103]³

             1             8          49                தொடர்பு இல்லை

              1               9           55                   தொடர்பு இல்லை

இந்த வழிமுறை a³  + b³  + c³  = (c+r)³  என்ற பொதுத் தொடர்புக்கு முழு எண்களாலான தீர்வுகளைப் பெறப் பயனுள்ளதாக இருக்கின்றது.

[1,6,8=9]³, [2,17,40 = 41]³ , [3,10,18=19]³, [4,57,248 =249]³ ,[5,86,460 =461]³ , [6,121,768 = 769]³,

[7,162,1190=1191]³, [8,209,1744 =1745]³ , [9,262,2448= 2449]³, [10,321,3320 = 3321]³

a  யின் எல்லா முழு எண் மதிப்புகளுக்கும்  ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட       ₃ R³₁   தொடர்பை ஏற்படுத்த முடியும்.இது போன்ற எண்  தொடர்புகளை

a³ + [6T_a  - (a-1)]³  + [ 8a + 3a(a² + a – 2) ]³  = [ 8a + 1 + 3a(a² + a – 2) ]³

என்ற பொதுத் தொடர்பால் பெறமுடியும். மேலும்  ஒரு குறிப்பிட்ட a யின் மதிப்பிற்கு ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட  எண் தொடர்புகளை நிறுவலாம். எடுத்துக்காட்டாக  (a=3) ,(a=7) என்றிருக்கும் போது

[3,4,5=6]³ ,[3,10,18=19]³ ,[3,18,24 =27]³,  [3,36,37=46]³ , [3,34,114=115]³

[7,14,17=20]³ , [7,317,525=561³, [7,162,1190 = 1191]³

போன்ற எண் தொடர்புகளைப் பெறலாம். இதில் T_n என்பது  இயல் வரிசையில் n வது முக்கோண எண்ணாகும்( Triangular number).   ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில்  புள்ளிகளை  வரிசையாக அடுக்கி முக்கோண  வடிவத்தை கட்டமைக்க முடியும் .  முக்கோண வடிவில் காட்ட க் கூடிய எண்ணிக்கைகளை முக்கோண எண்கள் என்பார்கள் . 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,.....   முக்கோண எண்களின் இயல் வரிசையாகும். ஒரு முக்கோண எண்ணின் வரிசை எண் n என்றால் அதன் மதிப்பு இயற்கை எண்களின் இயல் வரிசைத் தொடரில் n வரையுள்ள எண்களின் கூட்டுத் தொகையாகும். எனவே n  வது முக்கோண எண்ணை  [n(n+1)] /2 என்ற தொடர்பால் குறிப்பிடலாம்.

₃R³₁   வகை சார்ந்த எண் தொடர்புகளை உருவாக்கும் அல்ஜீப்ரா முறை

₂R³₂ தொடர்பை உருவாக்கி அதில் ஏதாவதொரு உறுப்பு எதிர் குறியுடையதாக  இருக்குமாறு செய்துகொண்டால்  ₃R³₁   வகைத் தொடர்புகளைப் பெறலாம் .

                                              (x-a)³  + (x+a)³ = (x-a+7n)³  + ( x + a - n)³

இதை விரித்து சுருக்க

                          3nx²  - nx(8a-25n) + 3na² – 24an² + 57n³  = 0

தீர்வு செய்து x-ன்  மதிப்பை

                           x = [(8a – 25n) ± S ]/ 6 ; S² = 28a² – 112an – 59n²     

28a² – 112an – 59n² – S² = 0 , தீர்வு செய்து  a -ன்  மதிப்பை  a = [28n ± √[ 7(171 n² + S²)] /14

n,S க்கு விருப்பம் போல மதிப்புக்கொடுத்து a, x ன் மதிப்புக்களை அறியலாம்.

n      S         a                               x                                          எண் தொடர்பு

1       2      9/2                    13/6, 3/2                          [20 = 7 + 14 +17]³ ; [6 = 3,4,5}³

                 -1/2                 -27/6, -31/6                      

         9       - 1                    -7, -4                                 [9 =1.6.8]³  :    [6 = 3,4,5}³      

                    5                      4, 1

        23        7                       9,4/3                             [ 2.16=9,15]³ ; [25= 4,17,22]³   

                    3                      -4,11/3

(a-b)³ = a³  - b³ – 3ab(a-b) என்ற சூத்திரத்தின் மூலம் ₃R³₁  தொடர்புகள்

a - b =  n எனில்  a³ = n³ + b³  + 3abn

 a – b = 1 எனக்கொண்டால்  a³  =  1 + b³  + 3ab

3ab யின் மதிப்பு மும்மடியாக இருக்குமாறு a   ன் மதிப்புக்களைத் தேர்வு செய்துகொண்டால் தேவையான  எண் தொடர்புகளை  உருவாக்கலாம்

a = 9 ; [9=1,6,8]³

இதில் ஒரு  உறுப்பு 1 ஆக இருப்பதால்  3ab = 3a(a-1) வெவ்வேறு a- ன் மதிப்புக்களுக்கு ஒரு மும்மடியாக  இருப்பதில்லை.மும்மடியாக்கி வழிமுறை மூலம் அனைத்து உறுப்புகளையும் மும்மடியாக்கிக் கொள்ள முடியும். மும்மடியாகாத இரு உறுப்புகளில்  ஒரு உறுப்புடன் மும்மடியாக்கும் மதிப்பொன்றைக் கூட்டிஅல்லது கழித்துக் கொள்ள , மற்றொரு உறுப்புடன் அதே மதிப்பைக் கழித்து அல்லது கூட்டிக் கொண்டு அவ்விரு உறுப்புக்களையும் மும்மடியாக்கிக்கொள்ள முடியும்.

a = 41;   41³ = 1 +40³ + 4920 ; 1+7 =8 = 2³ ; 4920 -7 = 4913 = 17³ ;  [2,17,40=41]³

a=19 ;    19³  =  1 + 18³   +1026; 1+1+26=27 = 3³; 1026 – 26 = 1000-= 10³;   [19 = 3.10,18]³

a=115;  115³  = 1 + 114³ + 39330 ; 1+26 = 27 = 3³ ; 39330-26 =39304= 34³ ; [115 =3,34,114]³

a=249;  249³ = 1 + 248³  + 185256 ; 1 + 63 = 64= 4³; 185256-63 =185193 = 57³ [249=4.57.248]³

  

₃ R³₁     வகை பொதுச் சமன்பாட்டில் ஏதாவதொரு மூல  எண் சுழியானால்  அது ₂R³₁   வகைக்கான ஒரு பொதுச் சமன்பாடாகும். a  சுழியானால் இச் சமன்பாடு 1³  = 1³ என்று மட்டுமே மாற்றம் பெறுகின்றது.  b சுழியானால் இச் சமன்பாடு 6T_a = (a-1) என்ற நிபந்தனையை ஏற்படுத்துகின்றது . இந்த நிபந்தனை a = 0 , T_a  = 0  என்ற நிலையில் மட்டுமே உண்மையானதாக இருக்கின்றது. c = 0 எனில் , a ஒரு சிக்கல் எண்ணாகி விடுகின்றது. ஒரு உறுப்பைச் சுழியாக்கிவிட்டு ₃ R³₁  தொடர்பை ₂R³₁  தொடர்பாக மாற்றமுடியாது என்ற உண்மை,  பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்தை உறுதிப்படுத்துவதாக இருக்கின்றது.

 

கணிதவியல் அறிஞர்களால்  ஓட்றை  மாறியால் நிறுவப்பட்ட    தொடர்புகளைக் கொண்டும் இதை உறுதி செய்ய முடியும்.   சான்டாசெக் (J. Jandasek ) ₃R³₁ வகைத் தொடர்புகளுக்கான ஒரு மாறியுடன் கூடிய  ஒரு பொதுத் தொடர்பைத்  தந்துள்ளார்,  

n³ + (3n²+2n+1)³ + (3n³+3n²+2n)³ = (3n³+3n²+2n+1)³

இதிலுள்ள இரண்டாவது உறுப்பு சுழியானால்  n -ன் மதிப்பு   சிக்கலெண்ணாகிவிடுகின்றது n = [ (-1+ i√ 2)/3]. இதனால் தொடர்பில் உள்ள அனைத்து உறுப்புக்களுக்கு முழு எண்ணாக இருப்பது தவிர்க்கப்படுகின்றது

ஆம்போனின் (Ampon)  இது போன்ற பொதுத் தொடர்பும் இதே கருத்தை சுட்டிக்காட்டுவதாக  இருக்கின்றது.  

(3n²)³ + (6n²+3n+1)³ + (9n³+6n²+3n)³ = (9n³+6n²+3n+1)³

₃R³₁ வகைத் தொடர்பிலுள்ள ஏதாவதொரு உறுப்பைச் சுழியாக்கினால் சார்பிலா

மாறி அல்லது மாறிகள் நிபந்தனைக்கு உட்பட்டு பின்ன அல்லது கூறுபடா அல்லது சிக்கலெண்களை மட்டும் ஏற்பதால்   பிற உறுப்புகள்  முழு எண்களாக இருப்பதில்லை. இது முழு எண்களுடன்  ₃R³₁ வகைத்  தொடர்பை  ₂R³₁  வகைத்  தொடர்பாக மாறவே முடியாது என்ற உண்மை பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்திற்கு மற்றொரு நிரூபணமாகிறது .