FLT New Proof

நிரூபணம் -3

பகா எண்களின் மடிகளின் கூடுதலின் இரட்டைத்தனமும் ,அவற்றின் வேறுபாட்டின் இரட்டைத் தனமும் வேறு வேறு

₂R⁴₁  க்கான ஒரு பொதுத் தொடர்பு   a⁴ = c⁴ – b⁴ = (c-b) (c+b) (c² + b²), a இரட்டை என்றும் , b யும் c யும் ஒட்றை  என்றும் கொள்வோம். இதனால் (c-b), (c+b), (c² + b²) மூன்றும் இரட்டையாகவே இருக்க முடியும் எனலாம். இதில் ஒரு எண்ணின் நான்கு மடி மூன்று   எண்களின் பெருக்கல் பலனாக இருக்கின்றது.  c  மற்றும் b ன் மதிப்புக்களைத் தேர்வு செய்து  அவற்றின் கூடுதலும் ,வேறுபாடும் வெவ்வேறு எண்களின் நான்கு மடியாக இருக்குமாறு செய்யலாம் .

                                                                c - b =  x⁴                                                                            

                                                                c + b = y⁴ 

இது  c = [(y⁴  + x⁴)/2] , b = [(y⁴ -  x⁴)/2] என்ற மதிப்பை நிர்ணயிக்கின்றது. இம் மதிப்புக்களை ப் பதிலீடு செய்தால்

                                       a⁴  = x⁴ y⁴ { [(y⁴  + x⁴)/2]²  + [(y⁴  -  x⁴)/2]² }

                                             = x⁴ y⁴  [(y⁸  + x⁸)/2]

 [(y⁸  + x⁸)/2] = z⁴ என்றிருக்கும் போது a = xyz  என்ற முழு எண் மதிப்புள்ளதாக இருக்கும்.(y⁸  + x⁸) = 2z⁴ என்ற தொடர்பு ஒற்றை -இரட்டைச் சமனால் தவிர்க்கப்படுவதால் இது போன்ற எண் தொடர்புகள் முழு   எண்களால் இயலாததாக இருக்கின்றது. (y⁸  + x⁸)- ன் இரட்டைத் தனத்தின் அளவு  , 2z⁴  ன் ஒற்றைப்படை இரட்டைத் தன்மைக்கு எந்த நிலையிலும் சமப்படுவதில்லை. இதன் காரணமாக a⁴ ± b⁴  = c² ; a⁴  - b⁴  = 2c² போன்ற தொடர்புகள் முழு எண்களால் சாத்தியமாவதில்லை  என்று கூறலாம்

இது மடியெண் 4,6,8..... (2n)  என இரட்டைப்படையில் இருக்கும் அனைத்து ₂R²ⁿ₁    வகைத் தொடர்புகளுக்கும் உண்மையாக இருக்கின்றது      

 

மடி மூல எண்களின் பகா எண்  காரணிகளைக் கொண்டும் இதை மெய்ப்பிக்க முடியும். a⁴   = c⁴ -  b⁴ = (c²  - b²) (c² + b² )  என்ற தொடர்பில்  a = 2 P₁ P₂  என்று கொண்டால்,

c²  - b²  = 2 P₁³ P₂  என்றும் c² + b² =  2³ P₁ P₂³  என்றும்  மதிப்புடையனவாக இருக்கலாம். இதிலிருந்து  c²  = P₁ P₂ [ 2²P₂²  +  P₁² ] , b² = P₁P₂  [2²P₂²  -  P₁² ] என்ற தீர்வைப் பெறலாம். b யும்   c யும்   முழு எண்களாக இருக்க வேண்டுமெனில்  [2²P₂²  +  P₁² ] = P₁ P₂  P₄² என்றும் [2²P₂²  -  P₁²]  = P₁ P₂  P₃² என்றும் மதிப்புக் கொண்டிருக்கவேண்டும்.

                                                     2²P₂²  +  P₁²        P₄²

                                                                              ^{----------------------    =   ------}                                                           

                                                     2²P₂²  -  P₁²        P₃² 

2² P₂² [ p₄²  - p₃²  ]  =  P₁² [ p₄²  + p₃²  ]                                 

இரண்டு பகா  எண்களின் இருமடிகளின் கூடுதல்  ஒரு முறை மட்டுமே இரட்டைத் தனம் கொண்டிருக்கும் ஆனால் அவற்றின் வேறுபாடு  இரண்டு அல்லது அதற்கும் கூடுதலான இரட்டைத் தனம் கொண்டிருக்கும் . அதாவது p₄²  + p₃² ன் இரட்டைத் தனம் 1 ஆகவும் P₄ – P₃  ஒன்றைவிடக் கூடுதலாகவும் இருக்கும் . இதனால் இந்த பொதுத் தொடர்பின் ஒற்றை -இரட்டைத் தன்மை  பகா காரணிகளின் எம்மதிப்பிற்கும் சமப்படுவதில்லை. இவ்விளக்கம் முழு எண்களுடன் கூடிய  ₂R⁴₁  வகைத் தொடர்புகள் சாத்தியமில்லை என்பதற்கு மட்டுமின்றி ₂Rⁿ₁ (n ≥ 3 ) வகைத் தொடர்புகளும்  சாத்தியமில்லை என்பதற்கும் போதுமானதாக இருக்கின்றது.

₂R²ⁿ₁  க்கான ஒரு பொதுத் தொடர்பில்  a = 2P₁P₂ எனில்  a²ⁿ =2²ⁿ P₁²ⁿ P₂²ⁿ = c²ⁿ – b²ⁿ = (cⁿ-bⁿ) (cⁿ+bⁿ). பெருக்கப்படும் இரு பகுதிகளுக்கும் இதைப் பிரிவினை செய்தால்,

cⁿ-bⁿ = 2⁴  P₁^2n-2 P₂² ; cⁿ+bⁿ  = 2^2n-4 P₁² P₂^2n-2 என்ற மதிப்புள்ளதாக இருக்கும். இதிலிருந்து bⁿ,cⁿ  ன் மதிப்புக்களை bⁿ = 2³ P₁² P₂² [ 2^2n-8 P₂^2n-4 – P₁^2n-4], cⁿ = 2³ P₁² P₂² [ 2^2n-8 P₂^2n-4 + P₁^2n-4],    என்றவாறு பெறலாம். b யும்   c யும்   முழு எண்களாக இருக்க வேண்டுமெனில்  2^2n-8 P₂^2n-4 – P₁^2n-4    = 2^n-3 P₁^n-2P₂^n-2 P₃ⁿ என்றும் 2^2n-8 P₂^2n-4 + P₁^2n-4    = 2^n-3 P₁^n-2P₂^n-2 P₄ⁿ என்றும் இருக்கவேண்டும். இது  2^2n-8 P₂^2n-4[ p₄ⁿ – P₃ⁿ] = P₁^2n-4[ P₄ⁿ + P₃ⁿ]      என்ற தொடர்பை ஏற்படுத்துகின்றது. p₄ⁿ – P₃ⁿ ன் இரட்டைத் தனத்தின் அளவு  P₄ⁿ + P₃ⁿ ன் இரட்டைத் தனத்தின் அளவை விடக் கூடுதலாக இருப்ப து தொடர்பின் சமனின்மையை  வெளிப்படுத்துகின்றது. இரு பகா எண்களின் கூடுதல் .அவற்றின் மடிகளின் கூடுதலை விட கூடுதலான இரட்டைத் தனம் கொண்டிருப்பது பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்தை நிரூபிக்கின்றது.