பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம்-10

நிரூபணம் -9 

 c^m = aⁿ + bⁿ  ( m ≠ x n , n ≠ xm )

ஒரு மும்மடியை இரு வேறு இருமடிகளின் அல்லது நான்கு மடிகளின் அல்லது ஐந்து மடிகளின்  கூடுதலாக அல்லது வேறுபாடாகக் காட்ட முடியும் . ஆனால் இரு மும்மடிகளின் அல்லது அதன் மடங்கில் இருக்கும் மடிகளின் கூடுதலாகவோ அல்லது வேறுபாடாகவோ காட்ட முடிவதில்லை.

                                        c³  = a² ± b²                        c³    ≠   a³ ± b³   

                                                                    = a⁴ ± b⁴                                  ≠   a⁶ ± b⁶

                                            = a⁵ ± b⁵                                  ≠   a⁹ ± b⁹

                                             = a⁷ ± b⁷                                ≠   a¹² ± b¹²

ஒரு மும்மடியை இரு இருமடிகளின் கூடுதலாகக் காட்டும்  எண் தொடர்புகளை நிறுவ aⁿ ± bⁿ  = c³ என்ற பொதுத் தொடர்பின் நிபந்தனைத் தொடர்புகளைக் கொண்டு ஆராய்வோம். 1 + f₁² = f₂²  என்ற தொடர்பில் f₁ , f₂  இரண்டும் சார்புக் கூறுகளாகும். n= 2 எனில்  a² + a² f₁² = a² f₂² à a²  + (aq)² = r³  என்றமைவதற்கான நிபந்தனைத் தொடர்பு  a² (1+ q²) = r³.   q = 2, a = 5 எனில்  r = 5. இது  [(5,10)², 5³] என்ற எண் தொடர்பையும்  q = 3,a=10 , r=10 போன்ற மதிப்புக்கள்    [(10,30)², 10³]என்ற எண் தொடர்பையும்  தருகின்றன . வெவ்வேறு   n- ன் மதிப்புக்களுக்கான நிபந்தனைத் தொடர்புகளை ஏற்படுத்திக் கொண்டு அதை நிறைவு செய்யும் மதிப்புகளால்  எண் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம்   

n = 4       a(1 + q⁴ ) = r³      [(4,4)⁴, 8³]

n = 5      a²(1 + q⁵)  = r³     [(2,2)⁵, 4³]

n=  6      a³(1 + q⁶)  = r³     1 + q⁶ ஐ ஒரு மும்மடியாக்க முடியாததால் இது

                                                            தவிர்க்கப் படுகின்றது

n = 7       a⁴ (1+ q⁷) = r³     [(4,4)⁷, 32³]

n = 8       a⁵( 1 + q⁸) = r³       [(2,2)⁸, 8³]    

n = 9       a⁶ ( 1+ q⁹ ) = r³      1 + q⁹ ஐ ஒரு மும்மடியாக்க முடியாததால் இது

                                                        தவிர்க்கப்படுகின்றது

aⁿ + bⁿ = c³ என்ற பொதுத் தொடர்பிற்கான நிபந்தனைத் தொடர்பு a^n-3 ( 1+ qⁿ) = r³

n = 3,6,9,,,,,,,,,3m எனில் a^3(m-1) (1+q^3m) = r³.  (1+q^3m) ஐ  மும்மடியாக்க முடியாமை முழு எண்களாலான   எண் தொடர்புகளுக்கு அகத் தடையாக இருக்கின்றது.

aⁿ + bⁿ = c^m என்ற பொதுத் தொடர்பிற்கான நிபந்தனைத் தொடர்பு aⁿ ( 1+ qⁿ) = r^m. . n < m எனில்  1+ qⁿ  = a^m-n.  . m(>3) = n எனில்   q = ௦  என்பதால் தொடர்பில் ஒரு உறுப்பு சுழியாகிவிடுகின்றது மேலும் இருக்கும் இரு உறுப்புக்களும் சமமாகி விடுகின்றன .

n >m  எனில் a^n-m  (1 + qⁿ)  = r^m.  m (>3) = n எனில் 1 + qⁿ = rⁿ. எந்தவொரு மடி யெண்ணுடனும் ஒன்றைக் கூட்டி அதே மடியில் வேறொரு மடி மூல  எண்ணாக்க  முடியாது என்ற உண்மை பெர்மாட்  இறுதித் தேற்றத்தை நிரூபிக்கின்றது

aⁿ + bⁿ = cⁿ என்ற பொதுத் தொடர்பை  aⁿ [ 1 + (b/a)ⁿ ] = cⁿ  எனத் திருத்தி எழுதலாம் .  c  முழு எண்ணாக இருக்க [ 1 + (b/a)ⁿ ]  ஐ n  மடியின் மடி மூலமாகக்  காட்ட வேண்டும். .n  மடியுடன் ஒன்று கூடுதலாக இருப்பதால் அதை ஒருபோதும்  n ன் மடியாக்க முடிவதில்லை.

ஒரே மடியில்  இருவேறு மடி மூல எண்களின் வேறுபாட்டைக் கொண்டும் இதே முடிவை வலியுறுத்திச் சொல்ல முடியும்.  aⁿ – bⁿ = c³   என்ற பொதுத்  தொடர்பில் அனுமதிக்கப்படும் மற்றும் தவிர்க்கப்படும்  n- ன் மதிப்புக்களை  நிறைவுறு  மற்றும் நிறைவுறா நிபந்தனைத் தொடர்புகளுடன் அறிவோம்

n = 2       (p² – q² ) = a r³  ;     [(3,1)³, 2³], a = 1 என்ற நிலையில் பொதுக்காரணியற்ற தொடர்பு கிடைக்கின்றது. a > 1 என்ற நிலையில் பொதுக்காரணியுடன் எண் தொடர்புகள் அமைகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக a = 2, p = 3.q=2, r =2 போன்ற மதிப்புக்கள்  {(10,6)² 4³]  என்ற தொடர்பையும்  a = 4, p = 7.q=5, r =2  போன்ற மதிப்புக்கள் [(21.15)²  6³] என்ற தொடர்பையும் தருகின்றன.

n=3 எனில்   p³ – 1 = r³   ஒரு மும்மடியுடன் ஒன்றைக்கூட்டி அல்லது கழித்து மற்றொரு மும்மடியை ஏற்படுத்த முடியாது நிறைவுறாத் தொடர்பால் .₂³R³₁ க்கு  முழு எண்களாலான தொடர்புகள் இல்லை. n - ன் பிற மதிப்புக்களுக்கான நிபந்தனைத் தொடர்பும் எண் தொடர்புகளும்

n=4      a(p⁴ – q⁴) = r³ ; [(450,225)⁴ , 3375³ ] 

n = 5      a²(p⁵ - 1)  = r³     [(62,31)⁵,961³]

n=  6      a³(p⁶ - 1)  = r³     p⁶ - 1 ஐ ஒரு மும்மடியாக்க முடியாததால் இது

                                                   தவிர்க்கப்படுகின்றது

n = 7       a⁴ (p⁷- 1 ) = r³     [(32258,16129)⁷, (127³)³]

n = 8       a⁵( p⁸ - 1) = r³       [(510,255)⁸,(255³)³]    

n = 9       a⁶ (p⁹ - 1) = r³     p⁹ - 1 ஐ ஒரு மும்மடியாக்க முடியாததால் இது

                                                    தவிர்க்கப் படுகின்றது

aⁿ  - bⁿ = c³ என்ற பொதுத் தொடர்பிற்கான நிபந்தனைத் தொடர்பு a^n-3 (pⁿ - 1 ) = r³

n = 3,6,9,,,,,,,,,3m எனில் a^3(m-1) (p^3m  - 1) = r³.  (p^3m  - 1) ஐ  மும்மடியாக்க முடியாமை முழு எண்களாலான   எண் தொடர்புகளுக்கு அகத் தடையாக இருக்கின்றது.

aⁿ -  bⁿ = c^m என்ற பொதுத் தொடர்பிற்கான நிபந்தனைத் தொடர்பு aⁿ (pⁿ - 1) = r^m. . n < m எனில் pⁿ - 1   = a^m-n.  . m(>3) = n எனில்   p = ௦  என்பதால் தொடர்பில் ஒரு உறுப்பு சுழியாகிவிடுகின்றது மேலும் இருக்கும் இரு உறுப்புக்களும் சமமாகி விடுகின்றன .n >m  எனில் a^n-m  (pⁿ - 1 )  = r^m.  m (>3) = n எனில்  pⁿ - 1  = rⁿ. எந்தவொரு மடி யெண்ணுடனும் ஒன்றைக் கழித்து  அதே மடியில் வேறொரு மடி மூல  எண்ணாக்க  முடியாதது  பெர்மாட்  இறுதித் தேற்றத்தை நிரூபிக்கின்றது.