பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம்-9

நிரூபணம் -8

a³  ±  b³ = cⁿ  ( n ≠ 3m)

பொதுக்காரணி இல்லாமல் இருமடியற்ற வகைத் தொடர்புகளை ஏற்படுத்த முடியாமைமையும் , மும்மடி அல்லது உயர் மடிகளுடன்  ₂ ⁿR^,n₁ வகைத் தொடர்புகளை        அதாவது ஒரு குறிப்பிட்ட  மடியில் (n ≥ 3) ஏதாவதொரு எண்ணை  அதே மடியில்  இருவேறு எண்களின் கூடுதலாகவோ அல்லது வேறுபாடாகவோ காட்ட முடியாமையும் பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்தை நிரூபிக்கின்ற கணிதவியல் உண்மையாகும் .  அதைப்பற்றி  இந்த நிரூபணத்தில் பார்ப்போம் 

இரு வேறு இருமடிகளின் கூடுதல் அல்லது வேறுபாட்டை வேறொரு இருமடியாகக் காட்ட முடிவதைப் போல இரு வேறு மும்மடி அல்லது உயர் மடிகளின் கூடுதல் அல்லது வேறுபாட்டை வேறொரு எண்ணின் அதே மடிக்குச் சமமாக  அல்லது  அதன் மடங்கில் இருக்கும் மடிக்குச் சமமாகக் காட்ட முடிவதில்லை .

                      a³⁺ⁿ   + b³⁺ⁿ  ≠  c³⁺ⁿ

ஆனால் இவை நீங்கலாக பிற மடிக்குச் சமமாகக் காட்ட  முடிகின்றது.

                         a³⁺ⁿ  + b ³⁺ⁿ  = c^3+m , m ≠ n , m ≠  (3+n) மடங்கு

முதலில் மும்மடிகளைக் கொண்டு இதை மெய்ப்பிப்போம்.

இரு வேறு மும்மடிகளின் கூடுதலை ஒரு இருமடியாகக் காட்டமுடியும் சில பொதுத் தொடர்புகள் பின்வருமாறு.. இதில் கூட்டுத் தொகையின் மடி மூல எண்ணேஇருமடியாக இருப்பதால் , கூட்டுத் தொகையை நான்கு மடியாகவும் காட்ட முடிகின்றது.

a³ + b³ = c எனில் (ac)³ + (bc)³ = (c²)²; a= 3, b = 2 எனில் 105³  + 70³ = 1225² = 35⁴

1 + q³  = a எனில்  a³ + (aq)³ = (a² )² ; q = 2 எனில் 9³ + 18³ = 81² = 9⁴

[a (a³ + b³)]³ + [b(a³ + b³)]³   = [(a³ + b³)²]² ; a=2 , b =1 எனில் 18³ + 9³ = 81² =9⁴

தன்னினப் பெருக்கத்தின் மூலம் இத் தொடர்புகளை உண்டாக்கமுடியும்

1³ + 2³ = 3² à  (a²)³  + (2a²)³  =  (3a³)²

இரு வேறு மும்மடிகளின் கூடுதலை ஒரு நான்கு மடியாகக் காட்டமுடியும் சில  பொதுத் தொடர்புகள்.

a³ + b³ = c எனில் (ac)³ + (bc)³ = c⁴  ; a = 2 , b = 3 எனில்  70³ + 105³  = 35⁴

[a (a³ + b³)]³ + [b(a³ + b³)]³   = (a³ + b³)⁴; a = 2 , b = 1 எனில் 18³ + 9³ = 9⁴

1 + q³  = a எனில்  a³ + (aq)³ = a⁴ ; q = 3 எனில் 28³ + 84³ = 28⁴

 தன்னினப் பெருக்கத்தின் மூலம் 9³ + 18³ = 9⁴ à (9a⁴)³ + (18a⁴)³ = (9a³)⁴

இதை நிறுவும் வழிமுறையொன்றை காண்போம். a³ + b³ = (a+b) (a² – ab + b²)= c⁴  .a + b =pc என்றும் a² - ab +b²  = qc² என்றும் pq = c என்றும் கொண்டு தீர்வு செய்தால் b = (pc/2) ± (pc/6)√ [(12c/p³) – 3]. முழு எண்களாலான தீர்வுகளுக்கு வர்க்க மூலம் ஒரு இருமடியாக இருக்கவேண்டும். 12c/p³  = k² + 3 , k = 1,2,3,4,-----.  எடுத்துக்காட்டாக k = 1

p=3, c=9 ,b= 18 அல்லது  9à [(9,18)³ = 9⁴], k = 2, p=6, c = 126, b =630 அல்லது 126 à [(630,126)³ =126⁴].

இரு வேறு மும்மடிகளின் கூடுதலை ஒரு ஐந்து மடியாகக் காட்டமுடியும்

a³ + b³ = c² எனில் (ac)³ + (bc)³ = c⁵

3³ + 6³ = 3⁵  à (3a⁵)³ + (6a⁵)³ = (3a³)⁵

a³+ b³ = c⁵ என்ற பொதுத் தொடர்பிற்கான எண் தொடர்புகளை  நிறுவும் முறையைப் பற்றியும்  தெரிந்து கொள்வோம் . a³+ b³ = (a+b) ( a² - ab + b²)=   c⁵ = c² x c⁵. (a+b) = c²  என்றும் ( a² - ab + b²) = c³   என்றும்  கொண்டு தீர்வு செய்தால் 

                                                                3b²  - 3c²b  +c⁴ – c³  = 0

                                                  b = (c²/2) ± (c²/2)  √  [(12/c) – 3]

இதில் (12/c) = 4,7,12,19..... (n² + 3) போன்ற மதிப்புக்களைப் பெற்றிருக்கும்  முழு எண்களாலான எண் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தும் வாய்ப்பைத் தருகின்றது.

                                           c = 3   எனில் b = 6 , a = 3 -à [(3,6)³ = 3⁵]

பகுப்பை மாற்றி இதையே நாம் வேறு விதமாகவும்  தொடரலாம் . எடுத்துக்காட்டாக  a+ b = pc  என்றும்  a² - ab + b²  = qc³  என்றும்  pq = c என்றும் கொள்வோம். இவ்விரு சமன்பாடுகளை தீர்வு செய்ய b = (pc)/2 ± (pc/6) √[(12c²/p³ – 3] என்ற தீர்ப்பைப் பெறலாம், p = 3n²  என்ற மதிப்புடையதாக இருக்கும் போது  c = 3n³ ஆக இருக்கும். இது (3n⁵)³ +  (6n⁵)³ = (3n³)⁵  என்ற பொதுத் தொடர்பைத் தருகின்றது   

இரு வேறு மும்மடிகளின் கூடுதலை 

                                                                           36³ + 72³     = 648²

                                                                           28³ + 84³     = 28⁴

                                                                                                                   96³ + 192³    = 24⁵

                                                                                                                     81³+ 162³   = 9⁷

                                                                                                                    9³  + 18³        = 3⁸

                                                                                                                    8³ + 8³         = 2¹⁰

                                                                                                                  27³ + 54³      = 3¹¹

                                                                                                                 16³  + 16³      = 2¹³

என வெவ்வேறு மடிகளில் குறிப்பிட முடிந்தாலும் 3 மற்றும் 3 ன் மடங்கில் இருக்கும் மடிகளில் மட்டும் குறிப்பிடமுடிவதில்லை .                          

இரு வேறு மும்மடிகளின் கூடுதலை ஒரு n மடியாகக் காட் டும்  ஒரு பொதுத் தொடர்பு.

[a(a³ + b³)^(n-1)/3]³ + [b(a³ + b³)^(n-1)/3]³  = (a³ + b³)ⁿ

  n = 3   எனில் மும்மடிகளின் மடி மூல எண்கள் முழு எண்களாக இருப்பதில்லை. n = 1,4,7...... (1+3x)    போன்ற மதிப்புகளுக்கு  மடி மூலங்கள் முழு எண்களாக இருக்கும் போது  கூட்டுத் தொகை மும்மடியாக இருப்பதில்லை. இது பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்தை மெய்ப்பிக்கிறது.

அல்ஜீப்ராவின் துணை கொண்டு a³ + b³ = cⁿ  என்ற சமன்பாட்டில் n ன்  நிலைப்பாட்டை அறிந்து   கொள்வதின் மூலம் இந்த நிரூபணத்தைப் புரிந்து கொள்ள முடிகின்றது.

a³ + b³ = (a+b) (a²- ab + b²) =       cⁿ

a+b = pc என்றும் ( a + b > c , p > 1), a²- ab + b²  = c^n-1 /p என்றும் கொண்டு தீர்வு செய்தால்  b = (pc/2) ± (pc/6) √[(12 c^n-3 /p³) – 3]. n = 3 என்ற நிலையில்  [(12 /p³) – 3] =9 k² என  இருப்பதற்கான நிபந்தனை 12 = p³(9k² + 3). ஆனால் p > 1 என்ற நிபந்தனை இதை நிறைவு செய்யவில்லை . பிரிவினையை வேறுபடுத்தி இதைத் தொடர்ந்தாலும் முடிவில் ஒரு மாற்றமுமில்லை .n = 3 என்பதற்கு  முழு எண்களாலான தொடர்பைத் தராத இதே தொடர்பு  மூன்று அல்லது மூன்றின்  மடங்கில் இல்லாத மடங்குகளுக்கு த் தீர்வுகளைத் தருகின்றது.

k = 0 எனில் a = b = (pc/2) ;  n = 2 , p³ c = 4 , c = 4 , p =1 à 2³ + 2³  = 4²

                                                                               n = 4 , 4c = p³ , c = 16 , p = 4à 32³ + 32³ = 16⁴

                                                                               n = 5 , 4c² = p³, c =4 , p = 4à 8³ + 8³ = 4⁵

                                                                               n = 7 , 4c⁴ =  p³, c = 2 , p= 4 à 4³ + 4³ = 2^7,    

                                                                               n = 8, 4c⁵ = p³, c = 4  , p = 16 à 32³ + 32³ = 4⁸   

n = 3 எனில் மும்மடிகளின் மடிமூலங்கள் முழுஎண்களாக இருப்பதில்லை. n = 3m எனில் 4 c^3(m-1) = p³,  n = 1.4.7------ (1+3x)   என்ற மதிப்புகளுக்கு முழு எண்களாக இருக்கும் போது கூட்டுத்  தொகை மும்மடியாக இல்லாது வேறொரு மடியில் அமைகின்றது.   மும்மடியாக இல்லாத ஒரு எண்ணை மற்றொரு மும்மடி மூலத்திற்குள்  முழு எண்ணாக   இணைக்க முடியாததால்  m ன் எம்மதிப்பிற்கும் p  முழு எண்ணில் மதிப்பைப் பெறுவதில்லை என்பதால்  ₂R³₁ வகைத் தொடர்புகள்பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்திற்கு ஏற்ப இருக்கின்றன எனலாம். ₂^mR^,n₁ வகைத் தொடர்புகளுக்கும் விரிவுபடுத்தி பொதுமைப் படுத்திக்கொள்ளலாம்.

a^m + b^m  =cⁿ    என்ற பொதுத் தொடர்பில்  a,b,c m,n அனைத்தும் நேரெண்கள் என்று கொள்வோம் .m = n என்ற நிலை பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்தால் தவிர்க்கப்பட்டதாகும் . பொதுத் தொடர்பை  (a^m/3)³ + (b^m/3)³ à x³ + y³ = cⁿ  எனத் திருத்தி அமைத்துக் கொண்டு தீர்வு செய்வோம். a = x^3/m , b = y^3/m என்பதால் , m =3 என்று    இருந்தால் மட்டுமே a,b  இரண்டும் நேரெண்களாக இருக்கும்.   ஆனால் x³ + y³ = cⁿ   =ல் n  ன் மதிப்பு மூன்று அல்லது மூன்றின் மடங்குகளாக இருந்தால் முழு எண்களாலான தீர்வுகள் இல்லை என்று ஏற்கனவே அறிந்துளோம்.  x,y இரண்டும் m  அல்லது  m  - ன் மடங்குகளை மடியாகக் கொண்ட மடியெண்களாக இருக்கலாம். அப்போது a^m  + b^m = (p^m)³ + (q^m)³  = cⁿ , m   எம்மதிப்புடையதாக இருந்தாலும்  n =3 ஆக இருப்பதையும்  c , m  ன் மடியில் ஒரு மடியெண்ணாக இருப்பதையும்  தவிர்த்துக் கொள்கின்றது . ஒரு குறிப்பிட்ட மடியில் மடியெண்களை மும்மடி மூல எண்களாகக் கொண்ட இரு வேறு எண்களின் கூட்டுத் தொகை  ஒரு மும்மடியாக இருப்பதை மட்டும் தவிர்த்துக் கொள்கின்றது . இது பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்தை மென்மையாக நிரூபிக்கின்றது.   

ஒரு குறிப்பிட்ட எண் தொடர்பை நிறுவுவதற்குத் தேவையான நிபந்தனைத் தொடர்புகளைக் கொண்டும் இதே கருத்தை வலியுறுத்திக் கூறமுடியும். எடுத்துக்காட்டாக a³ + b³ = c²  என்ற தொடர்பை எடுத்துக் கொண்டு ஆராய்வோம்.

 1 + f₁² = f₂² எனில்  a³ + a³ f₁²  = a³ f₂². வெவ்வேறு நிபந்தனைத் தொடர்புகள் மூலம் இதிலிருந்து எண் தொடர்புகளை உருவாக்கமுடியும்   a³ + b³ = c² à  a³  + (aq)³ = (a r)² எனில்  1 + f₁² = f₂² à  1 + q³ = r²/a . a(1+q³) = r² என்பது  இத் தொடர்பிற்கான ஒரு நிபந்தனையாகும்.  இந்த நிபந்தனையை நிறைவு செய்யும் a,q,r ன் மதிப்புக்கள்          ₂³R^,2₁  வகைக்கான எண் தொடர்புகளைத் தருகின்றன.  a = 1 என்றால் ( 1 + q³ )  ஒரு இருமடியாக இருக்க வேண்டும். இதை q = 2 , r = 3  போன்ற மதிப்புக்கள் நிறைவு செய்து 1³ + 2³ = 3²  என்ற  பொதுக் காரணியற்ற எண் தொடர்பைத் தருகின்றது. (இருமடி ஒரு உறுப்பாயுள்ள  தொடர்புகளில் பொதுக் காரணி இருக்கவேண்டும் என்பது அவசியமில்லை). எனினும் பொதுக் காரணியுடனும் அவ்வகைத் தொடர்பகளை ஏற்படுத்த முடியும்

 a ≠  1 எனில் a = (1+q³) = r ,  (1+q³)³ + [q(1+q³)]³ = [(1+q³)²]³     (1+q³) = ax² எனில் r = ax  , [(1+q³)/ x²] ³  + [q (1+q³)/ x²] ³ = [(1+q³)² / x³ ] ²                           

பொதுக் காரணியைச் சார்ந்தில்லாதவாறு நிறுவ முயன்றால் தொடர்பு a³ + q³ = (ar)² என மாற்றம் பெற்று, q³ = a²(r²-a) என்ற  நிபந்தனைத் தொடர்பையும் தருகின்றது . இது a > 1 எனில்  q  ன் மதிப்பை பொதுக் காரணியைச் சார்பில்லாதவாறு  தேர்வு செய்ய முடியாது என்பதைத் தெரிவிக்கின்றது. c-ன் மதிப்பு a யோடு சார்பின்றி இருக்குமாறு  செய்ய முற்பட்டால் .a³ + (aq)³= r², இது a³( 1+q³) = r²  என்ற நிபந்தனைத் தொடர்பையும்  (a²)³ + (2a²)³= (3a³)² பொதுக் காரணியுடன் கூடிய ஒரு பொதுத் தொடர்பையும் தருகின்றது

1+ f₂²  = f₂²  என்ற அடிப்படைத் தொடர்பிற்குப் பதிலாக f₁² + f₂² = f₃²  என்ற  தொடர்பை யும் (பிதகோரஸ் தொடர்புகள்) ஓர் அடிப்படைத்  தொடர்பாகப் பயன்படுத்தலாம். [f₁² + f₂² = f₃²]à a³f₁ + a³ f₂ = a³ f₃ à (ap)³ + (aq)³ = (ar)² எனில் a(p³ + q³ )= r² ;  a = (p³ + q³ ) எனில்  r = (p³ + q³ ). இது [p(p³ + q³ )]³ + [q(p³ + q³ )]³ = [(p³ + q³ )²]² =(p³ + q³ )⁴  என்ற பீல்ஸ் தொடர்பு க்கான  ஒரு பொதுத்  தொடர்பைத் தருகின்றது. பீல் தொடர்புகளை பொதுக்காரணியின்றி உருவாக்க முடிவதில்லை . பொதுவான பெருக்கி அமைந்தால் பீல் தொடர்புகளைக்  கொண்டே பீல் தொடர்புகளை உருவாக்க முடியும் a³ + b³ = c² வகைக்கான ஓர் எடுத்துக்காட்டு [ 7³ + 21³ = 98² ] x  n⁶ à (7n²)³ + (21n²)³ = (98n³)² .

நிபந்தனைத் தொடர்பை நிறைவு செய்யும் எண் மதிப்புக்கள் பீல் தொடர்புகளுக்கான அடிப்படை எண் தொடர்புகளைத் தருகின்றன.  இவை பீல் தொடர்பாக்கியாக (generator) இருக்கின்றது. எடுத்துக்காட்டாக a(1+ q³) = r²    என்ற நிபந்தனைத் தொடர்புக்கு  1 + 1 = 2 அடிப்படை எண் தொடர்பானால் a=2,q=1,r=2 என்ற மதிப்பிற்கு 2³ + 2³ = 4² என்ற தொடர்பைத்  தருகின்றது. 1 + 8 =9 என்ற அடிப்படை எண் தொடர்பானால் a=9. q=2,r=9  என்ற மதிப்பிற்கு 9³ + 18³ = 81² என்ற தொடர்பைத்  தருகின்றது.

₂R³₁  என்ற தொடர்பைப் பெற  a³  + a³ f₁² = a³f₂³     என்றமைந்திருக்க வேண்டும், இது  a³ + b³ = c² என்றமைய  a³  + (aq}³ = (ar)³ என்றிருக்க வேண்டும். .  1 + q³ = r³  என்ற  நிபந்தனைத் தொடர்பு  q.r-ன்   முழு எண் மதிப்புக்களால்  ஈடுசெய்ய முடியாததாக இருப்பதால்  ₂³ R³₁ மட்டுமின்றி  ₂ⁿ Rⁿ₁   (n ≥ 3) வகைத் தொடர்புகளே இயலாததாக இருகின்றன.

 a³ + b³ = cⁿ  என்ற பொதுத் தொடர்பில் n = 1,2,4,5,7,8.... போன்ற எண்கள் அனுமதிக்கப்பட 3 6,9---  போன்ற  மூவலகு எண்கள் தவிர்க்கப்படுகின்றன. அது போல  a^m + b^m = cⁿ  என்ற பொதுத் தொடர்பில்  m- ன் மதிப்பு n அல்லது  n ன் மடங்காகவோ , n- ன் மதிப்பு m அல்லது  m ன் மடங்காகவோ இருக்கும்போது மடி மூலங்கள் முழு எண்களாக இருப்பதில்லை . இது.பொதுக் காரணியுடனோ அல்லது பொதுக் காரணியின்றியோ ₂ⁿ Rⁿ₁ (n ≥ 3) வகைக்கு  முழு  எண்களாலான எண்  தொடர்புகளை  உருவாக்க முடிவதில்லை என்ற நிரூபணம்  பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்திற்கு நிரூபணமாகிறது

இரு வேறு மும்மடிகளின் கூடுதலைக் கொண்டு நிறுவிய அதே முடிவுகளை

இரு வேறு மும்மடிகளின் வேறுபாட்டைக் கொண்டும் பெறமுடியும்.  இதில்  வேறுபாட்டின் மடி மூல எண்ணே இருமடியாக இருப்பதால் , வேறுபாட்டை நான்கு மடியாகவும் காட்ட முடிகின்றது. எடுத்துக்காட்டுகளுடன் இதற்கான சில பொதுத் தொடர்புகள்.

a³ - b³ = c . a > b எனில் (ac)³ - (bc)³ = (c²)² = c⁴ எ கா: [(57.38)³ 361²]

q³- 1  = a எனில்  (aq)³ – a³ = (a² )² = a⁴ ; எ கா: [(14. 7) ³ 49²]

இரு வேறு மும்மடிகளின் வேறுபாட்டை  ஒரு நான்கு மடியாகக் காட்டமுடியும் சில பொதுத் தொடர்புகள்.

a³ - b³ = c , a > b எனில் (ac)³ - (bc)³ = c⁴ எ கா: [(14,7)³, 7⁴ ]

[a (a³ - b³)]³ - [b(a³ - b³)]³   = (a³ - b³)⁴ எ கா: [(57,38)³, 19⁴ ]

இதை நிறுவும் வழிமுறையொன்றை இங்கு காண்போம். a⁴ = c³ – b³  = (c-b)(c² + cb +b²) .c - b =a என்றும் c² + cb +b²  = a³ என்றும்  கொண்டு தீர்வு செய்தால்  b = [-(a/2) +  (a/6)     √(12a – 3)] என்ற தீர்வைப் பெறலாம். a –ன் சில குறிப்பிட்ட மதிப்புக்களுக்கு மட்டுமே b  க்கு முழு எண்களாலான மதிப்புக்கள் அமைகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக , a = 1.7,19,37, 61 ...... [3n(n+1) +1] என்றிருக்கும் போது b = 0.7.38,74,111,244........... n(3n² + 3n+1) போன்ற மதிப்புக்களைக் கொண்டுள்ளது. இது c யின் மதிப்பை  [(a/2) + (a/6) √ (12a – 3)] = (3n² + 3n +1) (n+1) என்று தெரிவிக்கின்றது. இது  [3n(n+1) +1]⁴ = [(3n² + 3n +1) (n+1)]³ – [n(3n² + 3n+1)]³ என்றதொரு பொதுத் தொடர்பைத் தருகின்றது. n = 1 எனில் 7⁴ = 14³ – 7³ , n = 2 எனில் 19⁴  = 57³ – 38³ போன்ற எண் தொடர்புகளை ப் பெறலாம்.

இரு  பெருக்கற்  காரணிகளுக்கிடையே a⁴  ஐ பகுத்தளிப்பதை விருப்பம் போல செய்து கொள்ளலாம் . c – b = ma என்றும்  c² + cb +b²  = a³/ m  என்றும் கொண்டு இதே வழிமுறையைப் பின்பற்றி புதிய தீர்வுகளைப் பெறலாம். b = {-(ma/2) + (ma/6)             √[(12a/ m³) – 3]}.

m = 2. a=26   à   26⁴  =  78³  -  26³

m = 2 , a = 56 à 56⁴ =   224³ - 112³

m = 3 , a = 9 à   9⁴  =  18³  + 9³

m = 3 , a = 63 à 63⁴ =  252³ - 63³

m = 4 , a = 124 à 124⁴ = 620³ - 124³

m = 5 , a = 215 à 215⁴ = 1290³ - 215³

ஒரு மும்மடி எண்ணை ஒரு சிறிய மும்மடி எண் மற்றும் மற்றொரு எண்ணின் கூட்டுத் தொகையாகக் காட்டும் எண் தொடர்புகளைக் கொண்டு , இது போன்ற எண் தொடர்புகளை எளிதாக நிறுவமுடியும் எடுத்துக்காட்டாக

27 = 1 + 26 à [26 = 3³ - 1³] x 26³ à 26⁴ = 78³ - 26³

27 = 8 + 19 à [19 = 3³ – 2³] x 19³ à 19⁴ = 57³- 38³

64 = 1 + 63 à [ 63 = 4³ – 1³] x 63³ à 63⁴ = 252³ - 63³

64 = 8 + 56 à [56 = 4³ – 2³] x  56³ à 56⁴ = 224³ - 112³

64 = 27 +37 à [37 = 4³ – 3³] x 37³ à 37⁴ = 148³ - 111³

இரு வேறு மும்மடிகளின் வேறுபாட்டை ஒரு ஐந்து மடியாகக் காட்டமுடியும்

a³ - b³ = c² எனில் (ac)³ -  (bc)³ = c⁵  எ கா: [(104,91)³, 13⁵]

[x (x³-1)³]³ – [(x³-1)³]³ = [ (x³-1)²]⁵ ; எ கா: [(686,343)³, 49⁵]

இதை நிறுவுவதற்குரிய பல வழிமுறைகளில் ஒன்றைப்பற்றி இங்கு காண்போம்.

a³ + b³ = (a+b) (a² – ab + b²)  = c⁵ எனில்,  a+b = c² என்றும் a² – ab + b² = c³ என்றும் கொண்டு தீர்வு செய்ய b = [ (c²/2) ±  (c ²/6)  √[12/c  - 3]. வர்க்க மூலக் குறியீட்டுக்குள் இருக்கும் கூறு ஒரு இருமடியாக இருக்க வேண்டும் என்ற  நிபந்தனையைக் கொண்டு மடி மூலங்களை மதிப்பிட்டால்

c = 3 முழு எண்களாலான பீல் தொடர்பு  6³ + 3³ = 3⁵

c = 6    சிக்கலெண்களாலான  பீல் தொடர்பு (18 + 6 i )³ + (18 – 6 i )³ = 6⁵

c = 1/7 பின்னங்களாலான பீல் தொடர்பு (2/49)³ = (1/7)⁵ – (1/49)³

பிரிவினையை வேறுபடுத்தி இதன் மூலம் பிற எண் தொடர்புகளையும் பெறலாம்.

-57-

a + b = α c என்றும்  a² – ab + b² = β c³  என்றும் α β = c என்றும்  கொண்டு தீர்வு  செய்து. b = (c α / 2) ±  (c α / 6) √[12c²/ α³  - 3] என்ற தீர்வைப் பெறலாம்.]. 12c²/ α³  - 3 = 1 எனில் 12c²/ α³  = 4, 3c²  = α^3.

- α = 12 , c = 24 ,  β = 2  à  96³  + 192³  =  24⁵

  α = 27 , c = 81 ,  β = 3  à 729³  +1458³  = 81⁵

  α = 48 , c = 192 ,  β = 4  à 3072³  +6144³  = 192⁵

இரு வேறு மும்மடிகளின் வேறுபாட்டை ஒரு n மடியாகக் காட் டும்  ஒரு பொதுத் தொடர்பு.

[(x³ⁿ – 1)^m xⁿ]³  - [(x³ⁿ – 1)^m]³ = (x³ⁿ – 1)^3m+1

இதில் மடியெண்களான n  ம்  m ம்  ஒன்றையொன்று சார்பில்லாதன . இரு வேறு மும்மடிகளின் வேறுபாடும் மும்மடியாக இருக்கவேண்டுமானால் 3m + 1 = 3

என்ற நிபந்தனை m = 2/3 என்ற மதிப்பைத் தருவதால், பிற மும்மடிகளின் மடி  மூலங்கள் முழுஎண்களாக இருப்பதில்லை.

aⁿ – bⁿ  = cⁿ என்ற பொதுத் தொடர்பில்  n > 2 என்றும் a,b,c  முழு எண்களாலான மதிப்பைக் கொண்டவை என்றும் கொள்வோம். a > b, c. என்றாலும் c + b > a என்பதால்  a^n/2 – b^n/2  = c^n/2 /k ; a^n/2 + b^n/2  =k c^n/2 . தீர்வு செய்ய  aⁿ = cⁿ [(k² + 1)/2k]²,

bⁿ = cⁿ [(k² - 1)/2k]²,  aⁿ /bⁿ  = [(k² +1)/(k²- 1)]² போன்ற தொடர்புகளைப் பெறலாம்.

k⁴ (aⁿ – bⁿ) -2k²(aⁿ + bⁿ) + (aⁿ – bⁿ) = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்வு செய்து k²   மதிப்பைப் பெற்றால் k² = [(a^n/2 + b^n/2)/ (a^n/2 - b^n/2)] அல்லது [(a^n/2 - b^n/2)/ (a^n/2 + b^n/2)]. n = 2 என்ற மதிப்பைப் பெற்றிருக்கும் போது மட்டும்  k முழு எண்களாலான மதிப்பைப் பெற்று மடி மூல எண்களையும் முழு எண்களாக்கும் வாய்ப்புள்ளதாக இருக்கின்றது. n -ன் பிற  மதிப்புகளுக்கு k யும். அதனால் மடி மூலமும் முழுஎண்களாக அமைவதில்லை. இது பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்திற்கு நிரூபணமளிக்கின்றது