x² – x³ = 12  என்றால் x -ன் மதிப்பைக் கண்டுபிடி

இச் சமன் தொடர்பை சற்று மாற்றி அமைத்துக்கொண்டால் அதைத் தீர்வு செய்வது எளிதாகிறது

x² – 4 = x³ + 8                                                                                                                                                                                                                                  (x-2)(x+2) = (x+2) (x² – 2x+ 4)                                                                                                                                                                                                (x-2) = x² – 2x + 4                                                                                                                                                                                                                             x² – 3x + 6  = 0                                                                                                                                                                                                                   இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்வு செய்ய  x  = [3 ±√ - 15]/2 . x  எதிர் மதிப்புடையது என்பதால்  x = [3 – i √15]/2

x² – x³ = 36  என்றால்                                                                                                                                                                                                  x² – 9 = x³ + 27                                                                                                                                                                                                                          (x-3)(x+3) = (x+3) (x² – 3x+ 9)                                                                                                                                                                                                              (x-3) = x² – 3x + 9                                                                                                                                                                                                                                          x² – 4x + 12  = 0 . இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்வு செய்ய  x  = [2 ±2i√2]

பொதுவாக x² – x³ = N (= n² + n³ ) எனில் (x² – n² ) = (x³  + n³ )                                                                                                                                                   (x-n)(x+n) = (x+n) (x² – nx+ n²)                                                                                                                                                                                                     (x-n) = x² – nx +n²                                                                                                                                                                                                                             x² – (n+1)x + n(n+1)  = 0 . இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்வு செய்ய  x  = [(n+1) – i √ 3n² + 2n – 1]/2

x² + x³ = 12   என்றால்   x³ – 8 = 4 –x²; (x-2)(x² +2x +4) = (2-x) (2+x) ; x² +3x +6 = 0; x = [-3 +i √15]/2

 

 சுழி நீங்கலாக 1 முதல் 9 வரையுள்ள அணைத்து ஓரிலக்க எண்களை ஒரேவொருமுறை மட்டும் பயன்படுத்தி எவ்வளவு புதிய எண்களை உண்டாகலாம் ? இவற்றுள் 11 ஆல் வகுப்படும் எண்கள் யாவை?       

1 முதல் 9 வரையிலுள்ள 9 ஓரிலக்க எண்களைக் கொண்டு  1x2x3x4x5x6x7x8x9 = 9! = 362880 வகை எண்களை உருவாக்கலாம். 1 முதல் 9 வரையுள்ள எண்களைஒருமுறைமட்டும் பயன்படுத்திப் பெறப்பட்ட  9 இலக்க எண்கள் எதுவும் 11 ஆல் வகுப்படுவதில்லை .1முதல் 3 வரையுள்ள எண்களைக் கொண்டு உருவாக்கப்பட்ட மூவிலக்க எண்களுள் 132 மற்றும் 231 என்ற  இரு எண்கள் மட்டும்  11 ஆல் வகுபடுகின்றன. 1 முதல் நான்கு வரையுள்ள எண்களானால் 6 எண்கள் ( 1243,1342,2134,2431,3124,3421,4213,4312)  11 ஆல் வகுபடுகின்றன. ஒரு எண் 11 ஆல் வகுப்பட பெற்றிருக்கும் பண்பினைக்கொண்டு இதை நிறுவமுடியும். கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை வலப்பக்கத்திலிருந்து ஈறிலக்க எண்களாக வகுத்துக்கொண்டு அவற்றைக்கூட்ட ,கூட்டுத்தொகை 11 ஆல் வகுப்படவேண்டும். மூவிலக்க எண்களுக்கு இக் கூடுத்தொகை  33 ஆகவும் நான்கிலக்க எண்களுக்கு 55 ஆகவும் உள்ளது. 1 முதல் n வரையுள்ள (n=5,6,8 மற்றும் 9) n இலக்க எண்களில் 11 ஆல் வகுப்படக்கூடிய எண்கள் எதுவுமில்லை. n = 7 எனில் இரு எண்கள் ( 1235476, 1532476) 11 வகுப்படுகின்றன. 11 ஆல் வகுப்படும் எண்களிலுள்ள ஒற்றைப்படை இலக்க எண்களின் கூட்டுத் தொகையும் இரட்டைப்படை இலக்க எண்களின் கூட்டுத் தொகையும் சமமாக இருக்கும். 1 முதல் 9 வரையுள்ள இலக்க எண்களைக் கொண்டு உருவான 9 இலக்க எண்களின் ஓரிலக்க எண் மூலம் 1+2+3+4+5+5+6+7+8+ 9 = 45. 9 இலக்க எண்ணைn abcdefgh என்று பொதுவாகக் குறிப்பிட்டால் a+b+c+d+e+f_+ g+h = 45-n . ஒற்றைப்படை இலக்க எண்களின் கூட்டுத் தொகை = b+d+f+h = x. இரட்டைப்படை இலக்க எண்களின் கூட்டுத் தொகை a+c+e+g = x +n.b2x + n = 45-n அல்லது  2x = 45 – 2n  ஒற்றை -இரட்டைத்தனத்தின் மாறாக் கோட்பாடு 1 முதல் 9 வரையுள்ள இலக்க எண்களைக் கொண்டு உருவான 9 இலக்க எண்களில் 11 ஆல் வகுப்படக்கூடிய எண்கள் எதுவுமில்லை என்று தெரிவிக்கின்றது .