இரு இருமடிகளின் கூட்டுத் தொகையும் இருவேறு இருமடிகளின் கூட்டுத் தொகையும் சமமாயிருக்கும் சமன் தொடர்புகள்

இரு இருமடிகளின் கூட்டுத் தொகையை  இருவேறு இருமடிகளின் கூட்டுத் தொகை க்குச் சமமாயிருக்கும் சமன் தொடர்புகளை 2R2^2 என்று குறிப்பிடுவார்கள் . இத் தகைய பண்பினைப் பெற்றுள்ள மிகச் சிறிய எண் 65 ஆகும் . 1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2  = 65 ஒரு பக்கம் ஒரே இருமடியை இருமுறை பயன்படுத்தலாம் என்றால் 50  மிகச் சிறிய  எண்ணாகும் 1^2 + 7^2 = 5^2 + 5^2  = 50.இது போன்ற எண் தொடர்புகளை அல்ஜீப்ராவின் துணை கொண்டுநிறுவ முடியும். மதிப்புத் தெரியாத ஓரிரு எண்களை உட்புகுத்தி நிபந்தனைத் தொடர்புகளை வருவித்து சமன் தொடர்புக்கு இணக்கமாக அவற்றின் மதிப்புக்களை அறியலாம் . 

வழிமுறை - 1

பிதகோரஸ் மூவெண்களைக் கொண்டு இது போன்ற எண் தொடர்புகளை ஏற்படுத்த முடியும்.  ( a,b,c ) என்பது ஒரு பிதகோரஸ் மூவெண்ணாக இருக்கட்டும். ஒரு மூவெண் அணியிலுள்ள இரு சிறிய எண்களின் கூட்டுத்தொகையின் இருமடியை எடுத்துக்கொள்வோம்

(a+b)^2 = a^2 + b^2  + 2ab =  c^2  + 2ab

2ab யின் மதிப்பு இரு இருமடிகளின் வேறுபாடாக இருக்குமாறு அமைத்துக்கொள்ளலாம் . 

2ab = y^2  -  x^2 = (y-x) (y+x)

இது போன்ற தொடர்புகளைத் தீர்வு செய்வதற்கு நிச்சியமாக வழிமுறையொன்று உள்ளது .   y- x = 2 or 2a or 2b  or 2a/k எனில்  y+x = ab or b or a or kb .இவற்றைத் தீர்வு செய்து x,y-  ன் மதிப்புக்களை அறியலாம்.   2 y = ab+2 or  b + 2a or a  + 2b or (k2b + 2a)/k; 2x = ab-2 or b-2a or a - 2b or (k2b - 2a)/k.  

        (a+b)^2 + x^2  = c^2 + y^2 = (a+b)^2  + [(ab -2)/2]^2  = c^2  + [(ab + 2)/2]^2 

                                                   =  (a+b)^2  + [(b-2a)/2]^2  = c^2  + [(b + 2a)/2]^2

                                                   = (a+b)^2  + [(a-2b)/2]^2  = c^2  + [(a + 2b)/2]^2 

                                                   =  (a+b)^2  + [(ab-2k^2)/2k]^2  = c^2  + [(ab + 2 k^2)/2k]^2 

(8,15,17) என்ற பிதகோரஸ் மூவெண்ணை உட்படுத்தி  இதை விளக்கிக் கொள்வோம்.

 23^2  +  59^2  =  17^2 + 61^2 = 4010 

23^2  +  (0.5)^2  =  17^2 + (15.5)^2 = 529.25

23 ^2  +  11^2  =  17^2 + 19^2 = 650

முழு எண்களுடனான தீர்வுகளுக்கு ஏற்ப k ன் மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுத்துக் கொள்ளலாம் .

k =2 ; 23^2  + 28^2  =  17^2 + 32^2 = 1313

k=3 ;  23^2  + 17^2  =  17^2 + 23^2 =   818

k= 5; 23^2  + 7^2  =     17^2 +17^2  =   578

k=6; 23^2  +   4^2  =   17^2 + 16^2 =    545

வழிமுறை -2 

நான்கு சார்பிலா உறுப்புக்களைக்கொண்டு 2R2^2   க்கான  எண்தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம். (a,b,x,y) நான்கும் ஒன்றுக்கொன்று சார்பில்லா எண்களாக இருக்கட்டும் .இவற்றைக்கொண்டு (ax+by)^2  + (bx-ay)^2  = (ax- by)^2 + (bx+ay)^2 = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)  என்ற தொடர்பை நிறுவலாம் .

a=2 ,b=3 ,x=4 ,y= 5 என்று கொண்டால்  23^2 + 2^2 = 7^2 + 22^2  = 533