Fun with mathamatics

More properties of Pythagorean triples

It is found that cⁿ  - a ⁿ   - bⁿ    is always divisible by (n/2)^{3  ,} where n

is even and (a,b,c)  are any Pythagorean triples.

It is found that cⁿ  - a ⁿ   - bⁿ     is  divisible by a² and  b²    for all

even values of n .>2

e.g., c⁴  - a⁴  - b⁴  = 2a² b²  and c⁶ – a⁶ – b⁶  = 3a² b² c² 

All the members of a Pythagorean triple cannot be odd, since sum

of two odd squares is even which cannot be equal to square of the

other odd number.

It implies that all the members of any triple cannot be prime.

All of them can be even. Such Pythagorean triples will always be

reducible.

All of them cannot be square numbers, cube numbers or in general

equal power numbers with power n >1. If (a² , b² , c² ) exists as a

 possible set of Pythagorean triple, then the Pythagorean relation

demands that  a⁴  + b⁴  =  c⁴  which is not possible as it is against

the Fermat’s last  theorem.

1 cannot be a member in any Pythagorean triples. If 1 is a member

( lowest) then 1 =  c²  - b²   or 1 = (c+b)(c-b). The mathematical

description says that the product of a number and its reciprocal will

always give unity. Since c-b cannot be a fraction and  c² – 1 cannot

be a square number , for any integral values of c and b  the product

cannot be made to unity.

        

Arika ariviyal

சூரியக் குடும்பத்தில் பூமி 

 

 

 

சூரியக்குடும்பத்தில் புதன்,வெள்ளி ,பூமி,செவ்வாய் ,

வியாழன்,சனி,யுராநெஸ் ,நெப்டியூன் என்ற வரிசையில்

8  கோள்கள் உள்ளன. (புளுட்டோ நீங்கலாக ).இவற்றுள்

பூமியில் மட்டும் உயிரினங்கள் வாழ்கின்றன . இதற்கு

என்ன காரணம் ?

                       ***************

 

நீரானது பனி,நீர்,நீராவி என மூன்று நிலைகளிலும்

இருக்கக் கூடியவாறு சூரியனிலிருந்து அளவான

வெப்பத்தைப் பெற சரியான தொலைவில் பூமி 

இருப்பதே இதற்குக்  காரணம்.

 

வியாழன்,சனி,யுரனேஷ் ,நெப்டியூன் போன்ற

பெரிய கோள்களில் ஈர்ப்பு அதிகம்,வெப்பநிலைக்

குறைவு.இதனால் ஹைட்ரஜன் நீங்கலான

வளிமங்கள் உறைந்து இருக்கின்றன. மீத்தேன்,

அமோனியா  போன்ற வளிமங்கள் தெவிட்டிய

நிலையில் உள்ளன .இவை நச்சுத் தன்மை

கொண்டவை. இவ் வளிமண்டலத்தில் உயிரினம்

தோன்றி பரிணாம வளர்ச்சியில் ஈடுபடவே முடியாது.

புதனில் சிறிதளவு கூட காற்றோ,வளிமண்டலமோ

இல்லை. வெள்ளியில் உள்ள வளி மண்டலத்தில் கார்பன்டை ஆக்சைடின்  செறிவு 

மிக அதிகம். இங்கு முற்றிலும் முரண்பாடான 

தட்ப வெப்ப நிலை நிலவுகிறது. செவ்வாயில் 

வளி மண்டலம் மிகவும் மெல்லியது. பூமியைவிடக் 

குளிர்ச்சியாக இருக்கிறது.நீர் உறைந்து பனிக்கட்டியாக 

இருப்பதால் உயிரினம் எல்லா கால நிலைகளிலும் 

இயல்பாக வாழக்கூடிய சூழ்நிலை  இல்லை. 

Fun with Mathematics

New correlations with Pythagorean triples

If (a,b,c) is a Pythagorean triples,then  a² + b²  = c²  is uniquely true,

where c>a,c>b but c < a+b. Let a + b = c+k where k is an equalizer..

Property.1

 a+b= c+k

Squaring both sides, we have,

a²+b² +2ab = c² +k²+2ck

2(ab-ck) =k²

It shows that both a and b cannot be odd. If a and b are odd,

then c must be even since a² + b²  = c²  and k must also be even

since a+b = c+k.  It says that k²   is even but k² /2

must be odd in nature as ab-ck is odd which contradicts the

previous statement.

If a is odd and b is evedn then c must be odd as a² + b²  = c²    

and k must also be even as a+b= c+k. Since (ab-ck) is even it

can be equal with k ² /2 with proper values of a,b and c

 Property-2

a+b= c+k

(ab-ck) = k²  /2   

Which necessitates ab>ck or ab/c >k

This can be rewritten as

k²  + 2ck – 2ab = 0

Solving the quadratic equation for the positive value of  k,

k  =  -c + √ c²    +2ab

or a+b = c+k = √ c²    +2ab   

 c²    +2ab   must be a square number

Property-3

a³    +b³  + 3ab(a+b) = c³ + k³   + 3ck(c+k)

3(a+b)[ab-ck]-k³ = c³ –a³- b³

Substituting the value for ab-ck = k²/2

c³ –a³- b³  =

 = 3k² /2[a+b]-k³  = 3k² /2(c+k)- k³   

On simplification we get

c³ –a³- b³  = k²/2 [3c+k]

k=a+b-c,hence

c³ –a³- b³  = k²  [c + (a+b)/2]

where  (a+b)/2  and c  are left and right mean values respectively

of the Pythagorean relation

Property-4

(a+b)⁴ = (c+k)⁴

  a⁴  + b⁴   + 4ab( a²  +  b²  )+6a² b²   = c⁴   + k⁴  +4ck (c²  +k² ) + 6c² k²

c⁴  -a⁴-b⁴ =  4c²  (k²  /2) + 6 k² /2 (ab+ck) – 4ck³ – k⁴

On simplification we have,

c⁴  -a⁴-b⁴ =    (k²  /2) (2c+k)²   = (k²  /2)(a+b+c)²

= [(a+b)²- c²]