பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம்

பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம் -1

பியர் த பெர்மாட் (1601 - 1665 ) என்ற பிரான்சு நாட்டு கணிதவியல் அறிஞர் ₂ ⁿR₁ⁿ  குடும்பத்தைச் சேர்ந்த aⁿ   +  bⁿ    =  cⁿ  எனும்  பொதுச் சமன்பாட்டில் , n>2 என்ற நிபந்தனைக்கு a,b,c என்ற மூன்றின் எண் மதிப்புக்களும் ஒரே சமயத்தில் நேரெண்ணாகவும் முழு எண்ணாகவும் இருப்பதில்லை எனத் தெரிவித்தார் . இதுவே  பெர்மாட்  இறுதித் தேற்றம் (Fermat's Last Theorem) எனப்படுகின்றது. பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம் நெடுங்காலம் கணிதவியல் அடிப்படையில்  நிரூபிக்கப்படாமலே இருந்தது பின்னர் வந்தவர்களுக்கு அது ஒரு கணக்குப் புதிர் போல இருந்தது. உண்மையில் பெர்மாட் தனது புத்தகமொன்றில் ஒரு பக்கத்தின் ஓர வெளியில் இதற்கான நிரூபணம் பற்றி "உண்மையிலேயே மிகச் சிறந்த தேற்றத்தை நான் கண்டு பிடித்து விட்டாலும் அதை முழுமையாக விளக்கிட தாளில் போதிய இடமில்லை” என்று குறிப்பெழுதியுள்ளார்.அதன்பின் சுமார் முந்நூறு ஆண்டுகளுக்குப்பின் கி.பி.1994-இல் ஆங்கிலேய கணிதவியல் அறிஞர் ஆன்ட்ரு வைல்ஸ் (Andrew Wiles) என்பார் வகுப்பான் கணிதம் (Modular Theory) இத்தேற்றத்திற்கு தீர்வு கண்டார்.

n = 2 என்ற நிலையில் இது பிதகோரஸ் (Pythagoras) தொடர்பாகின்றது  இத் தொடர்புக்கு முழு எண்களுடன் கூடிய எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருக்கின்றன. செங்கோண முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் நீளங்கள் யாவும் பிதகோரஸ் தொடர்பிற்கு உட்பட்டிருப்பது இதன்  கூடுதல் சிறப்பம்சமாகும் n = 2 என்ற நிலையில் இருக்கும் முழு எண்களாலான எண்ணற்ற தீர்வுகள் n > 2 என்ற நிலையில்  இயலாமற் போய்விடுகின்றன. n >3 என்ற நிபந்தனையில் இச் சமன்பாட்டிற்கு முழு எண்களாலான தீர்வுகள் இல்லை என்பதை எண்ணியல் கொள்கைகளைக் (Number Theory) கொண்டும் நிறுவமுடியும். அப்படி  ஆராயும் போது பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்திற்கு பல புதிய நிரூபணங்களை அறிந்துகொள்ள முடிகின்றது. இவ்வாய்வு நூல் எண்ணியல் கொள்கைகளின் அடிப்படையில் அவற்றை எடுத்துக்காட்டுகளுடன் விளக்க முற்படுகின்றது

 அறிவைக் கொண்டு அறியாததை அறிந்து கொள்ள முடியும் ஆனால் அறியாமையால் அறிவையும் அறிய வேண்டியதையும் அறிந்து கொள்ள முடிவதில்லை என்பது வேத வாக்கு இது ஆய்வியல் வழிமுறையில் பொய்மையைக்  கொன்டு உண்மையை  ஆராய்வதை விட உண்மையைக்  கொண்டு  பொய்மையை ஆராய்வது சரியான தீர்வறிய வழிகாட்டும்   என்ற பேருண்மையைத் தெரிவிக்கின்றது. பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம் நீண்ட காலமாக சரியான தீர்வு காணப்படாமல் இருந்ததிற்கு இது சொல்லப்படாத ஒரு காரணமாகக் கூட இருக்கலாம்.  

இதில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட தீர்வறியாத பொதுச் சமன்பாட்டின் சமநிலையும் (aⁿ   +  bⁿ    =  cⁿ ) அதைக் கட்டுப்படுத்த விதிக்கப்பட்ட  நிபந்தனையும் (a.b.c மூன்றும் முழு எண்களாகவும் , மடி எண் 2  அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட முழு எண்ணாகவும் இருக்கவேண்டும் ).பிதகோரஸ் தொடர்பும் முழு எண்களாலான தீர்வுகளை மட்டுமின்றி , நிபந்தனைக்கு உட்படாத தீர்வுகளையும் தரும் என்று தெரிவிக்கின்றன. அதாவது கூறுபடா தோற்ற எண்கள் (irrational) மற்றும் சிக்கல் எண்களாலான தீர்வுகளும் கூட பிதகோரஸ் தொடர்பிற்கு உட்பட்டிருக்கின்றன. எ.கா

                                                   3²  + (2√ 10)²  =  7²

                                             (3√3)²  + (√ 37)²    =  8²

                                                                  (8+3i)²  + ( 4- 6i)²    = (5√3)²

 மடி எண் 3 அல்லது மூன்றுக்கும் மேற்பட்ட  எண்ணாகும் போது அனைத்து தொடர்புகளும் முழு எண்களால் குறிப்பிடமுடியாத தீர்வுகளை மட்டுமே தருகின்றன.

                                        [9 +i  √23]³  +  [9  - i √23]³   = 6³

                                                 27³ + [(-9 +3√ 321)/2]³  =  [(9 +3√ 321)/2]³

பிதகோரஸ் தொடர்பிற்கும் , பெர்மாட் தொடர்பிற்கும் உள்ள வேறுபாடு முன்னத்திற்கு முழு எண்களாலும் கூறுபடா எண்களாலும் தீர்வுகள் இருக்க பின்னதிற்கு முழு எண்களால் அல்லாத தொடர்புகள் மட்டுமே இருக்கின்றன .மடியெண் மாற்றத்தால் ஏற்படும் இந்த மாற்றத்திற்கு  எண் கொள்கைகளைக் கொண்டு  விளக்கம் கொடுக்க முடியும்.

பெர்மாட் இறுதித் தேற்றதை அறிந்துகொள்ள சமன் தொடர்புகளுடன் தொடர்புடைய  கணிதவியல்  விதிகளைக் கருவியாகக் கொண்டு ஆராயும் போது  புதிய உண்மைகளையும் அறிந்து கொள்ள முடிகின்றது . அதுமட்டுமன்று முழு எண்களால் இருமடிகளுடன் சாத்தியமான பிதகோரஸ்  தொடர்புகளுக்கும் , மும்மடி மற்றும் உயர் மடிகளுடன் சாத்தியப்படாத பெர்மாட் தொடர்புகளுக்கும் நீண்ட காலமாக இருந்த மோதல் பீல் தொடர்புகளை இனங் காட்டியிருக்கிறது . ஒரே மடிகளால் இயலாத பெர்மாட் தொடர்புகள் வெவ்வேறு மடிகளால் இயலும் பீல் தொடர்புகளாகின்றன . இது  பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்திற்கு ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட பல நிரூபணங்களை நிறுவமுடியும் என்ற நம்பிக்கையைத் தருகின்றது. அதைப்பற்றி விரிவாக  காண்போம்.                                                                                                                                    

Beal's relation

பீல் தொடர்புகளின் பயன்கள்

(1) பீல் தொடர்புகள் வெறும் மடியெண்களால் ஆன சமன்பாடுகளே.   ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில்  ஒரு குறிப்பிட்ட மடியெண்ணுடன் கூடிய மடிகளின் கூட்டுத் தொகையை . அதே குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலோ அல்லது வேறு எண்ணிக்கையிலோ , அதே குறிப்பிட்ட மடியெண்ணுடனோ அல்லது வேறு மடியெண்ணுடனோ கூடிய மடிகளின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமமாகக் காட்டும் மடியெண்களாலான சமன்பாடுகள் டையோபோன்டை ன்  சமன்பாடுகள் சமன்பாடுகளாகும். இவற்றுள் எண்ணற்ற வகைகள் உள்ளன . பீல் தொடர்புகள் சில வகையான டையோபோன்டை ன்  தொடர்புகளை எளிதாக நிறுவுகின்றன. இரு மும்மடிகளின் கூடுதலை  இரு நான்கு மடிகளின் கூடுதலாய் க் காட்டும்  எண் தொடர்புகளை பீல் தொடர்புகளைக் கொண்டு ஏற்படுத்தும் முறையைப் பற்றித் தெரிந்து கொள்வோம். அதற்க்கு இரு மும்மடிகளின் கூடுதலாய் ஒரு நான்கு மடியாகவும் , இரு நான்கு மடிகளின் கூடுதலை ஒரு மும்மடியாகவும் காட்டும் தொடர்புகளை த் தேர்வு செய்து கொள்ள வேண்டும். எகா:  9³ + 18³ = 9⁴   ;  44 + 44 = 83 . இரண்டையும் கூட்ட   33 R43  வகைக்குட்பட்ட எண்தொடர்பைப்  பெறலாம். 8³  + 9³ + 18³   = 4⁴ + 4⁴ +  9⁴   . இரண்டையும் பெருக்க  ₂³R⁴₂   வகைக் குட்பட்ட  எண் தொடர்பைப் பெறலாம். (9³ + 18³) x 8³= 72³ + 144³ = (4⁴ + 4⁴) x 9⁴ = 36⁴ + 36^4.

பொதுவாக  aⁿ + bⁿ = c^m  என்ற தொடர்பையும் x^m + y^m = zⁿ   என்ற தொடர்பையும்   கொண்டு aⁿ + bⁿ + zⁿ = c^m + x^m + y^m, (az)ⁿ + (bz)ⁿ = (cx)^m +  (cy)^m  போன்ற தொடர்புகளை வடிக்கலாம்

(2). பீல் தொடர்புகளைக் கொண்டு  ₃ⁿRⁿ₁   வகைத் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம். ஒரு சில அடிப்படைத்  தொடர்புகள் இதற்குப் பயன்படுகின்றன எகா  17 =  8.+ 9 இவற்றின் இருமடிகளின் வேறுபாடு இருமடியாக இருப்பதால் , ஒரு இருமடியை மூன்று இருமடிகளின் கூடுதலாகக்  காட்ட முடிகின்றது. 17² =8² + 9² + 12² .  இந்த அடிப்படைத் தொடர்பைக் கொண்டு நிறுவப்படும் எண் தொடர்புகள் இப் பண்பைக் கொண்டுள்ளன.

[17 =  8.+ 9] x 17⁶ à 17⁷ = 578³ + 14739²

(17⁷)² = (7⁶ x 8)² + ( 7⁶  x 9)² + (7⁶ x 12)²

2ab ஒரு இருமடியாக இருக்குமாறு a   மற்றும் b யின் மதிப்புக்களைத் தேர்வு செய்து கொண்டு அவற்றின் கூட்டலையே ஒரு அடிப்படைத் தொடர்பாகக் கொள்ள வேண்டும் , எடுத்துக்காட்டாக a = 4 , b = 8 எனில் 2ab = 64 = 8². 12 = 4 + 8 என்ற அடிப்படைத் தொடர்பு 12² = 4² + 8² + 8² என்ற எண் தொடர்பைத் தருகின்றது. 3ab (a+b) ஒரு மும்மடியாக a   மற்றும் b யின் மதிப்புக்களைத் தேர்வு செய்து கொண்டு அவற்றின் கூட்டலையே ஒரு அடிப்படைத் தொடர்பாகக் கொண்டால் ₃³R³₁ வகைத் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம்..