vinveliyil ulaa

நண்டு வடிவ நெபுலா

M 1  என்று மெசியர் படத் தொகுப்பில் முதலாவதாக  இடம் பெற்றுள்ள நண்டு வடிவ நெபுலா, சீட்டா (ζ ) டாரிக்கு மிக அருகாமையில் ,ஏறக்குறைய 

6500  ஒளி ஆண்டுகள்  தொலைவில் இருக்கிறது . இதை டாரெஸ் A  என்று

வானவியலார் குறிப்பிடுகின்றார்கள் .இந்த நெபுலாவின் விளிம்பில் 

காணப்படும் வரி இழைகள் , நண்டின் கால்கள் மற்றும் உணர் கொம்புகள் 

போலத் தோன்றுகின்றன .அதனால் இதை நண்டு வடிவ நெபுலா (Crab 

nebula ) என்று அழைப்பது வழக்கமாயிற்று . இதைத் தொலை நோக்கியால் 

மட்டுமே பார்க்க முடியும் .இது நீள் வட்டக் கோள வடிவில் ,விண்ணில் 

தோன்றும் ஒரு சூரியக் கோளுக்கும், முழு நிலவிற்கும் இடையே இருக்குமாறு 

உருவ அளவைக் கொண்டுள்ளது . இதை 1731  ல் இங்கிலாந்து நாட்டு 

மருத்துவரும் பொழுதுபோக்கு வானவியலாருமான  ஜான் பெவிஸ்  (John Bevis )

என்பாரும், 27  ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு பிரான்சு நாட்டு வால்மீன் ஆய்வாளரான 

சார்லஸ் மெசியரும் தனித்தனியாகக் கண்டுபிடித்தனர் .  

 

நண்டு வடிவ நெபுலா உண்மையில் நெடுங்காலத்திற்கு முன்பு விண்மீனாக
இருந்து ஆற்றலையெல்லாம் உமிழ்ந்து ஓய்ந்தபின் ,வெடித்துச் சிதறிச் தோன்றிய எச்சம்.
இதற்கான ஆதாரங்களை வானவியலார் திரட்டியுள்ளனர். இது வானவியலில்
ரேடியோ வானவியல் என்று கிளை தோன்றிய பின்னரே இயலுவதாயிற்று .

தொடக்க காலத்தில் விண்வெளியை கட்புலனறி ஒளியால் மட்டுமே ஆராய்ந்து அறிந்தனர். .இதன் நடைமுறை ,இரண்டாம்
உலகப் பெரும் போருக்குப் பின்னர் வியத்தகு மாற்றத்திற்கு உள்ளானது .இரண்டாம் உலகப் போர் பலத்த சேதத்தை விளைவித்தது என்றாலும் .கெட்டதிலும் ஒரு நல்லது
இருக்கும் என்பதற்கு ஏற்ப ,அதனாலும் ஒரு பயன் கிடைக்கப் பெற்றது 

இரண்டாம் உலகப் போரின் போது மாற்றி யோசித்த சில விஞ்ஞானிகள் ,பறக்கும்
விமானங்களைத் துப்பறியும் இராடர் என்ற சாதனத்தைக் கண்டுபிடித்தனர் .1930 
களில் நியூ ஜெர்சியிலுள்ள  பெல் ஆராய்ச்சிக் கூடத்தைச் சேர்ந்த காரல் ஜான்ஸ்கை
(Karl  Jansky ) என்பார் விண்வெளியிலிருந்து  வரும் ரேடியோ அலைகளை பூமியிலிருந்து
கொண்டும் ஆராயும் வாய்ப்புகளைப் பற்றி தெரிவித்திருந்தாலும் ,அதன் செய்முறை
போர் ஓய்ந்த பின்னரே வளர்ச்சி பெற்றது.
போரின் போது வேவு பார்க்க நிர்மாணிக்கப்பட்ட இராடர் அமைப்புகளில், எவ்வளவு கவனமாக
இருந்தபோதிலும் சமிக்கை அலைகளில் குறுக்கீடுகள்  எப்போதும் இருந்து கொண்டே இருந்தன . இதற்கு என்ன காரணம் என்பதை அறியாது சில காலம் குழம்பிப்
போன விஞ்ஞானிகள் பின்னர் இது சூரியனிலிருந்து வரும் ரேடியோ அலைகளான
இரைச்சலே இடையூறு செய்கிறது எனத் தெரிந்து கொண்டனர். இதன் பின்னரே விண்வெளியை
கட்புலனுக்கு உட்படாத ரேடியோ அலைகள் மூலம் ஆராய முடியும் என்ற உண்மையை
புரிந்து கொண்டனர் .1950  களில் இராடர் மூலம் ,கட்புலனறி  ஒளியை விடக் கூடுதல்
அலை நீளமுடைய ரேடியோ அலைகளைக் கொண்டு பேரண்டத்தை அலசி ஆராயும் முறை
தோன்றியது.
ரேடியோ வானவியல் ,கட்புலனறி ஒளி சார்ந்த வானவியலை விட ,சில அனுகூலங்களைக்
கொண்டுள்ளது .சூரிய ஒளியிலுள்ள நீல நிறம் பூமியின் வளி மண்டலத்தில் அதிகமாகச்
சிதறல டைவதால் , வானம் நீல நிறமாகக் காட்சி தருகிறது. என்பது ராமன் விளைவு. .
இதனால் விண்வெளியில் விண்மீன்கள் இருந்தாலும் பகல் பொழுதில் அவற்றைக்
காண முடிவதில்லை .சூரிய ஒளியிலுள்ள சிவப்பு நிறம் ,நீல நிறம் போல சிதறலடைவதில்லை.
அதனால் சூரியன் மறையும் போது   வானம் சிவப்பாகத் தோன்றுகிறது . ஆய் கருவி
நேரடியாகச் சூரியனைப் பார்க்காத வரை ,இது போன்ற ஒளிச் சிதறல் ,ரேடியோ அலை நீள
நெடுக்கையில் ஏற்பட்டு 
பாதிப்பை ஏற்படுத்துவதில்லை .இதனால் ரேடியோ வானவியல் மூலம் 24  மணி நேரமும்
வானத்தை ஆராய முடிகிறது.

 

Fun with Mathematics

The last digit of number and its  power numbers

The following table gives an idea about the last digit of the first few natural

numbers and its power up to 10

n      n¹      n²      n³    n⁴      n⁵      n⁶      n⁷      n⁸      n⁹   

1      1        1        1      1       1        1        1       1        1

2      2        4        8       6       2        4        8       6        2

3      3        9        7       1       3       9       7        1        3

4      4        6        4       6       4       6       4         6        4

5      5        5        5       5       5       5       5        5         5

6      6        6        6       6       6       6       6        6         6

7      7        9        3       1       7       9       3        1         7

8      8        4        2       6       8       4       2        6         8

9      9        1        9       1       9       1       9        1         9

10    0        0        0       0       0       0       0        0        0

It is noted that

Last digit of  n^x = last digit of  n ^{x +4y}  

Where n, x and y are all any whole numbers It is found that the last digit of a number invariably

exists  at all of its  power  equal to (1+4y).The number ending with 0,1,5 and 6 has same digital ending for all of its power . The numbers ending with 4 and 9 have one digital ending for its odd power and another digital ending for its even power.

 

Fun with mathematics

A derived property from a power relation

Any three numbers can be made to be equal to any three other
numbers with a simultaneous condition that the sum of their
squares are equal.
a+b+c = x+y+z
and
a^2 +b^2+c^2 = x+2 + y^2 + z^2
It gives yet another condition
ab+bc+ca = xy+yz+zx
This numeral relation has many specific properties. It is found that
a^n+b^n+c^n =/= x^n+y^n+z^n
for n greater than or equal to 3. However the difference
|(a^n+b^n+c^n) - (x^n+y^n+z^n)|
is divisible by n . It provides a te4st for divisibility of a number by
n. Even though it is very complex ,it is unique.

One of the general solutions satisfying the two initial conditions
simultaneously is [(x-a),(x-b),(x+a+b)] and [(x+a),(x+b),(x-a-b)],
where x,a,b are all arbitrary numbers.Then,
(x+a)^n + (x+b)^n +[x-(a+b)]^n = 3x^n + nC2 x^n-2[a^2+b^2+(a+b)^2] +
nC3 x^n-3 [a^3+b^3-(a+b)^3+ .......... [a^n+b^n+(-1)^n(a+b)^n
and
(x-a)^n+(x-b)^n+ (x+a+b)^n= 3x^n+ nC2 x^n-2 [(a+b)^2 + a^2+b^2] +
+nC3 x^n-3 [(a+b)^3 -a^3-b^3]+........ [(a+b)^n+ (-1)^na^n+ (-1)^nb^n]
Subtracting one from the other
 It gives,
2 nC3 x^n-3 [(a+b)^3 - a^3 -b^3] + 2 nC5 [(a+b)^5 - a^5 - b^5] +......
It is noted that each term is divisible by 2 and n.
If n = 3;     6 [ab(a+b)]
n=4 ; 24x  ab(a+b)n=5; 60 x^2[ab(a+b)] + 10 (a^4b+2a^3b^2+2a^2b^3+ ab^4)
n=6; 120 x^3[ab(a+b)] +60x (a^4b+2a^3b^2+2a^2b^3+ab^4)

Fun with Mathematics

One more general proof for Fermat's Last theorem
The equal power relation in the form a^n + b^n = c^n cannot be existing with integral values for a,b and c and for any value of n except 1 and 2.
This relation ,if it exists ,can then be expressed in the Pythagorean form as
(a^n/2)^2 +(b^n/2)^2 = (c^n/2)^2
where the Pythagorean triple is a power of numbers.
All Pythagorean triples (x,y,z) must satisfy a condition xy = 2n(z+n)
Applying this condition to our equal power relation in the converted form ,we have,
ab(ab)^1/2 = 2n [c(c)^1/2 +n]
When a and b are odd ab(ab)^1/2 will be odd, but cannot be equated with 2n[c(c)^1/2+n] which is even for all values of c and n.

If a is even and b is also even, then c must be even. It is reducible without violating the equality of the
power relation . The reduction is stopped only when one of the members of the triple becomes odd.
If a is even, b is odd, c should necessarily be odd, then n must be either even or odd.
In (x,y,z) if x is even and y and z are odd it can be written as
z^2 -y^2= x^2
then z-y = x-2n
squaring and simplification gives,
y(z-y) = 2n(x-n)
Applying this condition to our equal power relation in the converted form,
b(b)^1/2 [c(c)^1/2 - b(b)^1/2] = 2n [a(a)^1/2- n]
when c and b are odd  LHS will be odd but RHS is even for all odd and even values of n and a.
As it contradicts , we can conclude that the equal power relation cannot be existng

Fun with Mathematics

More about the Pythagorean triples

1.In all Pythagorean triples (a,b,c) with c>b>a ,both a and b together cannot be odd.
Proof:
If a^2+b^2 = c^2, then a+b = c+2n where n = 1,2,3,4....
Squaring both sides and after simplification
ab = 2n(c+n)
That is the product of a and b is even which means that both a and b cannot be odd.

2.           2n^2 + 2cn -ab = 0
solving for n, we get,
n = (-1/2) + [1/2(c^2+2ab)^1/2]
It implies that c^2 +2ab must be a square number and if c is even c^2+2ab will be an even square and
if c is odd, it will be an odd square.

3. Again 2n^2= [an-2cn]
c+2n = a+b
 cubing both sides and after simplification
c^3-a^3-b^3 = 3ab(a+b)-8n^3-6cn(c+2n)
3(a+b)(ab-2cn)- 8n^3
(a+b)6n^2-8n^3
It shows that c^3-a^3-b^3 is divisible by 2 and also by a square number n^2 where n = (1/2)(a+b-c) 

Fun with Mathematics

Yet another proof for Fermat's last theorem
Dr.M.Meyyappan,Dean of Science
Sri Raja Raajan College of Engineering and Technology
Amaravathipudur-630301, Tamilnadu,India

The numeral relation in the form a^n +b^n = c^n is found to exist only when a,b,c and n are all whole
integers provided n = 1 or 2.
When n=1; a+b=c ,then a^n+b^n < c^n for n > or = 2
When n =2 ; a^2+b^2 = c^2  then a^n+b^n> c^n for n <2
                                                     a^n+b^n < c^n for n >2
The problem in the conditional relation a^n+b^n=c^n begins from n = 3 and it prevails for all higher
values n >3 .
a^n+b^n =/=c^n when n > or = 3
Let us assume that a^3 +b^3 = c^3 exists with a,band c are all whole numbers. Since sum of two
cubes is equal to a cube, c>a,c>b, but c <a+b .
The cube of a number x can be expressed as x^3 = (x-1)x(x+1) +x
For any product of three successive numbers ,6 will invariably be a factor, and hence,
x^3 = 6n(x) + x
Applying this fact to the cubical relation assume,we have
a+b-c = 6[n(c)-n(a)-n(b)] = 6n
or a+b = c+6n
For a given a and b, that is for given digital endings of a and b, the digital ending of c cannot
have all possible value, but is fixed ,because the digital ending of c^3 must be equal to the
sum of the digital ending of a^3 and b^3.
Table given below shows that digital ending of c for all possible digital endings of a and b
Digital ending of c in a^3 +b^3 = c^3

a       /    b        0     1     2     3     4     5     6     7     8      9

0                      0     1     2     3     4     5     6     7     8     9
1                      1     8     9     2     5     6     3     4     7     0
2                      2     9     6     5     8     7     4     1     0     3
3                      3     2     5     4     1     8     7     0     9     6
4                      4     5     8     1     2     9     0     3     6     7
5                      5     6     7     8     9     0     1     2     3     4
6                      6     3     4     7     0     1     8     9     2     5
7                      7     4     1     0     3     2     9     6     5     8
8                      8     7     0     9     6     3     2     5     4     1
9                      9     0     3     6     7     4     5     8     1     2

According to the requirement of digital endings of the equal power relation, one can assume the
following typical relation as an example.
(10x+7)^3 + (10y+4)^3 = (10z+3)^3
Fermat's last theorem demands that x,y,z all cannot be whole numbers simultaneously to satisfy the
relation. Since c>b>a (or c>a>b) ,one can assume that c =b+m, where m = 1,2,3,......
The acceptable and permitted values of m according to digital ending requirement are
9,19,29..... or in general (10k +9) with k =0,1,2,3,.......
It demands that z = y +1
Since a+b = c+6n
 10(x+y)+11 = 10z +3 + 6n
The digital ending requirement allows only certain quantized value n = (3+5m)
where m = 0,1,2,3,......It demands that x+y= z+1 or x = 2
By introducing these derived conditions, we can express the typical cubical relation in terms of one
variable y.
27^3 + (10y+4)^3 = (10y+13)^3
90y^2 + 153y - 585 = 0
Solving this quadratic equation for y,
y = [-153 + (2340090)^1/2]/180
   = 1.8374708.....   or -3.5374708.....
It gives
27^3 + (22.374708...)^3 = (31.374708...)^3
It clearly shows that when a is taken as whole number, then both b and c cannot be whole
integers in the relation a^3+b^3 = c^3. Hence Fermat's last theorem is true for n = 3.

Fun with Mathematics

Digital ending method of getting conditional Pythagorean triples

A Pythagorean triple (a,b,c) must satisfy the relation a^2 + b^2 = c^2
where c >a and c > b but a+b > c.
The values of a,b and c must be such that the digital endings of both sides must be same..
Table given below shows the digital ending of c for all possible digital endings of a and b.
Table.: Digital ending of c in a^2 + b^2 = c^2
a       /     b        0      1     2      3      4      5      6      7      8      9

0                       0      1      2     3      4      5      6      7      8      9
1                       1      x      5     0       x    4,6     x      0      5      x
2                       2      5      x     x       0    3,7     0      x      x      5
3                       3      0      x     x       5    2,8     5      x      x      0
4                       4      x      0     5       x    1,9     x      5      0      x
5                       5    4,6   3,7  2,8    1,9    0     1,9   2,8   3,7   4,6
6                       6     x       0     5       x    1,9     x      5      0      x
7                       7     0       x     x       5    2,8    5       x      x      0
8                       8     5       x     x       0    3,7    0       x      x      5
9                       9     x       5     0      x     4,6    x       0      5      x

It is noted that certain digital ending combinations for a and b are forbidden. For example both a,and b
cannot be ending with identical digits except 5
It is found that a^2 - a = a(a-1) is always equal to some multiples of 2,hence
a^2 = a+ an(a)
b^2 = b + 2n(b)
c^2 = c+2n(c)
It gives a condition
a +b = c + 2n
According to the requirement of digital endings of the equal power relation ,one can assume the following
typical relation as an example,
(10x+7)^2 + (10y+4)^2 = (10z+5)^2
Since a+b = c+2n, 10(x+y)+11 = 10z+5 + 2n
It demands that n = (3+5k) with k = 0,1,2,3......and x+y = z+k
With k = 0 , x+y = z
(10x+7)^2 + (10y+4)^2 = [10(x+y)+5]^2
it gives y = 2(x+1)/10x+1
When x = 0; y=2,z=2 ; 7^2+24^2=25^2
when x=1 ,y=4/11,z=15/11; 187^2+84^2 = 205^2
when x=2 , y = 6/21,z=48,21; 567^2 +144^2= 585^2
when x = 3, y=8/31,z=101/31 ; 1147^2+204^2 = 1165^2
When k = 1, x+y= z+1
(10x+7)^2 + (10y+4)^2 = [10(x+y)-5]^2
It gives y = 12x+2/10x-9
when x=1 ,y=14,z=14 ;17^2+144^2=145^2
when x=2,y=26/11,z=37/11;  297^2+304^2 = 425^2