FLT- New Proof

நிரூபணம் -அல்ஜீப்ராnவின் ஆக்கம்

a³  +  b³  =  c³  என்ற தொடர்பில் a.b.c  மூன்றும் முழு எண்களாக இருக்கட்டும்

a³  =  c³ -  b³  = (c-b) (c²  + cb + b²)

c – b  < a என்பதால் c – b = a/k என்றும் c²   + cb + b² = ka²  என்றும்  கொள்ளலாம். இதில் k  ன் மதிப்பு 1 விட அதிகமாகும். இவ்விரு தொடர்புகளையும் தீர்வு செய்து c , b  ன் மதிப்புக்களை a  உடன் தொடர்புபடுத்தி அறியலாம் . c (= b +a/k) ன் மதிப்பை மற்றொரு தொடர்பில் பதிலீடு செய்து கிடைக்கும் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்வு செய்ய 

3b² – 3ba/k  + a² /k² - ka²  = 0

b = -(a/2k) +  (a/6k)  √ [ 12k³ – 3 ]  ;  c  = (a/2k) +  (a/6k)  √ [ 12k³ – 3] என  மதிப்புகளை  அறியலாம் .c,b  முழு எண்ணாக இருக்க வேண்டுமானால் 12  k³   - 3 = n² என ஒரு  இருமடியாக  இருக்க வேண்டும். k = 1 என்றிருக்கும் போது, n = 3 மதிப்பைப் பெற்றிருந்தாலும்  b  = ௦ , a = c என்றாகி விடுகின்றது. k = 2 எனில் n  சிக்கலெண்ணாகி விடுகின்றது. k > 1 என்ற நிலையில் k- ன்  எம் மதிப்பிற்கும்  a யும் b  யும்  கூறுபடா அல்லது சிக்கலெண்களாகவே இருக்கின்றன .

b = (a/6k)(n-3)  ;  c  = (a/6k) (n+3); b   யும்  c  யும் முழு  எண்களாக இருக்க வேண்டுமானால் n – 3 = 6qk என்றும் n+ 3 = 6rk என்றும் இருக்க வேண்டும் அதாவது b யும் c யும் a க்கு நேர் விகிதத் தொடர்பில் இருக்க வேண்டும், c = ra என்றும் b = qa என்றும் கொண்டால்  1 + q³  = r³  என்ற நிபந்தனைத் தொடர்பைப் பெறலாம். எந்த வொரு மும்மடியுடன் 1 ஐ கூட்டினால்  வேறொரு மும்மடியைப் பெறமுடியாது என்பதால் முழு எண்களாலான ₂ R³₁   வகை எண் தொடர்புகள் சாத்தியமில்லை  என்பது நிரூபணமாகிறது. உயர்    மடியெண் கொண்ட   ₂Rⁿ₁  தொடர்புகளுக்கும் இது பொருந்துகிறது

a⁴ = c⁴  - b⁴ -à (a ²)² = (c²)² – (b²)² = (c² – b²) (c² + b²)

 c² – b²  = a²/k  என்றும் c² + b² = a⁴ k என்றும் கொண்டு தீர்வு செய்தால்

a⁴ + b⁴  = c⁴ -à a⁴  + {a √ [(k²-1)/2k]}⁴ = {a √ [(k²+1)/2k]}⁴   என்ற தொடர்பைப் பெறலாம்.

அது  போல

a⁶ = c⁶ – b⁶ à (a²)³ = (c²)³ – (b²)³

c² – b² = a²/k என்றும் c⁴  + c²b² + b⁴ = a⁴ k என்றும் கொண்டு தீர்வு செய்தால்  b² ={(-a²/2k) + (a²/6k)√ [12k³ – 3]}, c² = {(a²/2k) + (a²/6k)√ [12k³ – 3]} என்ற மதிப்புக்களைப்பெறலாம். k ன் எம்மதிப்பிற்கும், b² , c²  இரண்டும் முழு எண்களாக இல்லாததால் , b யும் ,c யும்  முழு எண்களாக இருப்பதில்லை. k  = 2 எனில் இது   1 + [(-1/4) + (1/12)√ 93]³  = [(-1/4) + (1/12) √ 93]³  என்ற தொடர்பைத் தருகின்றது., ₂R⁶₁ தொடர்புகளுக்கான வழிமுறையைப் பின்பற்றி a⁶ +{a[(k²-1)/2k]^1/3}⁶ = {a[(k²+1)/2k]^1/3}⁶ என்ற தொடர்பை ப்  பெறலாம் . இது   உயர்    மடியெண் கொண்ட   ₂Rⁿ₁  தொடர்புகளில் மடி மூல எண்கள் கூறுபடா எண்ணின் வர்க்க மூலமாக இருக்கின்றன என்று தெரிவிக்கின்றது .

மும்மடி மற்றும் உயர் மடிகளுடன் கூடிய ₂Rⁿ₁   வகைத் தொடர்பிற்கான  (a,b,c) என்ற மூன்று எண்களும் மும்மடி முத்தொகுப்பு (Cubic triple) ஆகும்..n  = 2 என்றிருக்கும் போது மட்டுமே  முத்தொகுப்பு முழு எண்களால் ஆனதாக இருக்கின்றது. இதை பிதகோரஸ் மூவெண்கள் என்பார்கள். இருமடி தவிர்த்த  எம்மடியின் முத்தொகுப்புக்களை எந்த வழிமுறை மூலம் பெற்றாலும் அவை முழு எண்களாக இல்லாதிருக்கின்றது .    எடுத்துக்காட்டாக, a³ + b³  = c³  என்ற   தொடர்பில் c - ன் மதிப்பு ,a.b ன் மதிப்பைவிட அதிகம் என்பதால்  c = b + m  எனக்கொள்ளலாம்.

a³  - m³  = 3bm(b+m). a,m க்கு விருப்பம் போல மதிப்புக்களைக் கொடுத்து b ன் மதிப்பை அறியலாம். m = 2, என்றும் a = 14 என்றும் கொண்டால்   b² +2b – 456 = 0. என்ற இருபடிச் சமன்பாடும் , b = [-1 + √ 457 ], c = [1 + √ 457]  என்ற தீர்வுகளும் [ 14, (√ 457 -1), (√ 457 +1)] என்ற மும்மடி முத்தொகுப்பும்  கிடைக்கின்றன. [1.(2 x 5^1/4). 3] ,[3,(2 x 145^1/4),7] போன்றவை நான்கு மடி  முத்தொகுப்பிற்கும்  [3,(3 x 31^1/5), 6], [4,(4 x 31^1/5),8}....... [n ,(n x 31^1/5). 2n}  ஐந்து மடி  முத்தொகுப்பிற்கும் உதாரணங்களாகும். முழு எண்களாலான மும்மடி முத்தொகுப்பு  ₂R²₁   க்கு மட்டுமே சாத்தியப்படுவதும் , ₂Rⁿ₁  க்கு சாத்தியப்படாமல் போவதும்  இருமடிக்குள்ள  அனுகூலமாகும் .இந்த அனுகூலமும் . பிற உயர் மடிகளுக்கு  இல்லாமை  பெர்மாட்டின் இறுதித்  தேற்றத்தை நிரூபிக்கின்றது .

 அல்ஜீப்ராவின் துணை கொண்டு பல்மடிகளாலானபீல்ஸ் தொடர்புகளானால்  அனுமதிக்கப்படுவதையும் ,ஒரே மடிகளாலான (n ≥ 3 ) தொடர்புகளானால் பெர்மாட் தேற்றத்தால் மறுக்கப்படுவதையும் மெய்ப்பிக்கலாம். aⁿ + bⁿ = c^m என்றதொரு பொதுத் தொடர்பில் a,b,c,m,n எல்லாம் முழு எண்களாக இருக்கும் போது m ≠ n     என்ற நிலையில்     பீல்ஸ் தொடர்புகள் அனுமதிக்கப்படுவதும்   m = n    என்ற நிலையில்  ₂Rⁿ₁    தொடர்புகள் மறுக்கப்படுவதும்  பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்தை மெய்ப்பிக்கிறது   .

aⁿ + bⁿ = c^m என்ற தொடர்பை  (a^n/3)³ + (b^n/3)³ = c^m    என்றும் p³ + q³ =(p+q) (p² – pq + q²) = c^m    என்றும் திருத்தி அமைத்துக் கொள்வோம். 

         ------------------------------------------------------------------------------------------------------

                          (m ≥ n)                                                                            (m < n)

                  p+ q = kc    எனில்                                                            p+q = c/k எனில்

                p² – pq + q²  = c^m-1/k                                                        p² – pq + q²  = c^m-1 k

                                                  p ன் மதிப்பை பதிலீடு செய்ய

         3q²- 3kcq + k²c² – c^m-1/k = 0                                                 3k²q² – 3kcq + c²- k³c^m-1= 0

                                                   q ன் மதிப்பைத் தீர்வு செய்ய   

          q = (kc/2) ± (kc/6)√ [(12 c^m-3/ k³)  - 3]                         q = (c/2k) ± (c/6k)√ [(12k³ c^m-3)  - 3] 

      -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

q முழு எண்ணாக இருக்க வேண்டுமெனில்  வர்க்க மூல குறியீட்டிற்குள் இருக்கும் பகுதி ஒரு இருமடி எண்ணாக ( S²) இருக்க வேண்டும். (m ≥ n எனில்) 12 c^m-3 = k³(S² +3), (m < n)  எனில் 12k³ c^m-3 = S² + 3.   

     ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

                           q  = (kc/2) ± kcS/6                                                q = (c/2k) ± cS/6k

                                                                      S = 0 எனில்

                              p = q = kc/2                                                            p = q = c/2k

                       (kc/2)³ + (kc/2)³ = c^m    (m ≥3)                        (c/2k)³ + (c/2k)³  = c^m , (m < 3)

                                                                         m = 2 எனில்

                               k³c = 4                                                                    c = 4k³

                                k = 1 , c = 4 எனில்  2³ + 2³ = 4²  = 2⁴ போன்ற பீல்ஸ் தொடர்புகள் மட்டும்                             

                      அனுமதிக்கப்படுகின்றன.

                                                                      m = 3 எனில்

                              k³ = 4                                                                          k³ = 1/4

                                 இதனால்    முழு எண்களற்ற தொடர்பே கிடைக்கின்றது.

                                                            (c 4^1/3 /2)³  +(c 4^1/3 /2)³ = c³

                            முழு எண்ணாக தேர்வு செய்யமுடியாதவாறு k -  மாறிகளின்  

            தொடர்பின்றியும் மும்மடி எண்ணாக இல்லாதும்  இருக்கும் போது இது   

             தவிர்க்கயியலாததாக இருக்கின்றது.  

                                                                       m = 4 எனில்

                              k³ = 4c                                                                      4k³c = 1                                      

                     c = 16 எனில் k = 4, இது 32³ + 32³ = 16⁴ என்ற தொடர்பை அனுமதிக்கின்றது.

                                                                       m = 5 எனில்

                             k³ = 4c²                                                                       4k³c² = 1

                   c = 4 , k = 4   என்ற மதிப்பால்  8³ + 8³ = 4⁵   போன்ற தொடர்பு அமைகின்றது

                                                                       m = 6 எனில்

                              k³ = 4c³  ; k = 4^1/3c                                              4k³c³ = 1; k = 1/4^1/3c

                    k கூறுபடா எண்ணாக  இருப்பதால் முழு எண்களாலான எண்

                    தொடர்புகளுக்கு சாத்தியமில்லை. m  =3,6,9.... 3n  என்றவாறு       

                   மதிப்புக்கொண்டிருந்தால்  இந்நிலை தவிர்க்கயியலாததாக                  

                   இருக்கின்றது. m = 7 என்றபோது இந்நிலை மாற்றம் பெறுகின்றது.

                                                                       m = 7 எனில்

                                k³ = 4c⁴                                                                             4k³c⁴ = 1

                 c = 4², k = 4³ எனில்   512³ + 512³ = 17⁷ என்ற தொடர்பை அனுமதிக்கின்றது.

                 அனுமதிக்கப்படும் S ன் பிற மதிப்புக்களைக் கொண்டும் இதை

                 நிறுவமுடியும்.

       

               --------------------------------------------------------------------------------------------------

இரு வேறு மடியெண்களுடன் கூடிய மடி மூல எண்கள் சமம் எனில் அது அவைகளுக்கிடையே ஒரு தொடர்பைத் தருகின்றது. aⁿ = b^m எனில்  மடி மூல எண்கள் இரண்டும் ஏதாவதொரு எண்ணின் மடிகளாக இருக்கவேண்டும் .a = x^m. b = xⁿ  எனில்,a,b இரண்டையும் முழு எண்களாக்க முடியும்,{a = x^n-m  b}. அப்படி அமையாத நிலையில்  a = b^m/n  , m ன் மதிப்பு n  ன் மடங்காக  அல்லது n ன்  மதிப்பு m ன்  மடங்காக இருக்கவேண்டும். இப்படி இல்லாத நிலையில் ஒன்றின் மூல எண்ணை முழு எண்ணாகக் காட்ட முடியாது . தொடர்பில் ஒரு மாறிலி மட்டும் இருக்கும் போதும் அல்லது பிற மாறிகளுடன் இணைந்து  மடி எண்ணுக்கு இணையான மடியெண்ணாக்கிக் கொள்ள முடியாவிட்டாலும்  இந்த நிலை ஏற்படுகின்றது. அப்படி அமைவது எப்போதும் மூன்று  மடியெண்களும் சமமாக அல்லது அதன் மடங்காக இருக்கும் போது மட்டும் ஏற்படுகின்றது . ₂Rⁿ₁ தொடர்புகளில் மூன்று மடி மூல எண்களை முழு எண்ணாக்க முடியாமை  பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்திற்கு ஒரு நிரூபணமாகிறது

                                

₂R³₁ தொடர்புகளில் அல்ஜீப்ராவின் வழியில் இதை மீண்டும் மெய்ப்பிப்போம் . ₂Rⁿ₁  வகைத் தொடர்புகள் (இரட்டை ,ஒற்றை ,ஒற்றை) என்றிருப்பதால் a³ = c³ – b³ à (2p)³ = (2r+1)³ – (2q +1)³ à 4p³ = (r-q) [4(r²+rq +q²) +6(r+q) +3]

r-q = 2 , 4(r²+rq +q²) +6(r+q) +3 = 2p³ என்று பிரிவினை செய்து கொண்டு  இவ்விரு தொடர்புகளையும் தீர்வு செய்ய

12q² + 36 q + 31 – 2p³ = 0

q = (-3/2) + (1/6)√[6 p³ -12] , r = (1/2) + (1/6) √[6 p³ -12]. இத் தீர்வுகள் { 2p , [-2 + (1/3) √(6 p³ -12)], [2 + (1/3) √(6 p³ -12)]} என்ற மும்மடி முத்தொகுப்பைத் தருகின்றது. பிரிவினையில் ஏற்படுத்தும் எந்த மாற்றமும் முழு எண்களாலான தீர்வுகளைத் தருவதில்லை. r-q = x , 4(r²+rq +q²) +6(r+q) +3 = y , xy = 4p³ எனில், q = -[(x+1)/2] + (1/6) √ [3(y-x²)] = -[(x+1)/2] + (x/6) √ [3(p /x)³- 1].  [3(p /x)³- 1]  = k ²  என ஒரு இருமடி எண்ணாக இருக்க  3(p /x)³  = k ²  + 1 ஒரு நிபந்தனையாக இருக்கின்றது . k² + 1    க்கு  3 ஒரு காரணியாக இல்லாததால் இது முழு எண்களால் நிறைவுறாத எண்தொடர்பு களையே தருகின்றது.

Pythagorean triples

 Pythagorean triples with same digital endings

 Sum of squares of two integers can be a square of an integer. Such a set of integers is called Pythagorean triple. The smallest known Pythagorean triple is (3,4,5). One can develop Pythagorean triples having same digital endings. For example in the case of (3,4,5) , we have first few Pythagorean triples with same digital endings

 3²  + 4²  = 5²

13² + 84² = 85²

23² + 264²= 265²

33²+ 544²= 545²  

43² + 924² = 925²

This set can be expressed with an algebraic relation

(10 n + 3)² + ( 50 n² + 30n + 4)² =  ( 50 n² + 30n + 5)²

mathematical puzzle

Fun with Mathematics

If p and q are positive and real numbers such that p²  +  q² = 1 . What are the maximum and minumum values of (p+q)  ?

Solution:

P²  = 1 – q²  = (1 + q) (1 –q). Let  1 + q = kp  and 1-q = p/k. By solving these two equations, we have

P = 2k/(k²+ 1)  and  q = (k² – 1)/(k² + 1). If p+q is maximum  p and q must be equal or k² -2k -1 = 0 . It gives k = (1 + √2) or p = q =(1 +√2)/(2+√2) It gives p+q = √2.

If p+q is minimum the difference between them must be maximum provided p or q cannot be greater than 1. 1+ q = p² and 1- q = 1. It is possible only when p = 1 and q = 0..So the minimum value of p+q = 1   

Discipline in Digital world

Discipline in digital world

Abstract: All numbers are having its own characteristics when mixed together in a relation, they show strict discipline which is curious to know. The disciplinary behavior of a group of numbers is quite amazing when exposed. Few inherent disciplines in the digital world are described in this article.

Key words: Number theory, Numeral relations- Triangular numbers

Introduction:

In numeral relations, two or more numbers are connected together with some mathematical operators When the numbers are varied under the same condition, the disciplinary behaviors of the numbers strike our mind. The inherent disciplines of a group of numbers in the digital world are exemplified with few simple numeral relations.

1.Sum of three squares of two successive numbers and its product

Sum of two squares of any two successive numbers is added with the square of its product always gives a square, the root number of which is one excess over the product number. This in turn is a factor for the sum of fourth powers of the same set of numbers.

1²  + 2² + 2²  = 3²  ;  1⁴  + 2⁴  + 2⁴  = 33 = 3 x 11

2² + 3²  + 6²  = 7² ; 2⁴ + 3⁴  + 6⁴  = 1393 = 7 x 199

3²  + 4²  + 12² = 13² ;  3⁴  + 4⁴  + 12⁴ = 21073 = 13 x 1621

4² + 5² + 20²   = 21² ; 4⁴ + 5⁴ + 20⁴   = 160881 = 21 x 7661

For any number n, it can be expressed as  n² + (n+1)²  +[n(n+1]²  =[ n(n+1) +1]²   and it is found that [n(n+1) + 1] is always a factor for  n⁴ + (n+1)⁴  +[n(n+1]⁴

2. Sum of three squares of any two numbers and its sum

Sum of squares of any two numbers when added with the square of its sum has a peculiar property . Half of the sum when added with the product of the two numbers taken gives the square of its sum 

   1²  +  12²  + 13²  =  2 x 157 ; 157 + 1 x 12 = 13²

    2²  + 11²  + 13² = 2 x 147 ; 147 + 2 x 11 = 13²

   3²  + 10²  + 13²  = 2 x 139 ; 139 + 3 x 10 = 13²

  4² +  9²  + 13²  = 2 x 133 ; 133 + 4 x 9 = 13²

For any two numbers m and n, we have

m²  + n² + (m+n)²  =  2( m² + n²  + mn)  ; m²  + n² + mn + (m x n) = (m+n)²

3. Sum of four different powers of any four successive numbers

  It is found that the sum of four different powers of any four successive numbers where both the numbers and the exponents are in ascending order has some curious properties

1 + 2² + 3³ + 4⁴  = 288 = 2 x 144 = 3 x 4² x 6

2 + 3² + 4³ + 5⁴ = 700 = 7 x 100 = 4 x 5²  x 7

3 + 4² + 5³ + 6⁴  = 1440 = 10 x 144 = 5 x 6² x 8

4  + 5²  + 6³ + 7⁴ = 2646 = 6 x 441 = 6 x 7² x 9

In general, n  + (n+1)² + (n+2)³ + (n+3)⁴  = (n+2) (n+3)² (n+5)

With any three successive numbers, we have

1 + 2² + 3³  = 32 = 2 x 4²

2 + 3² + 4³ = 75 = 3 x 5²

3 + 4² + 5³  = 144 = 4 x 6²

4  + 5²  + 6³ = 245 = 5 x 7²

In general, n + (n+1)²  + (n+2)³ = (n+1) (n+3)²

4 The sum of any three successive numbers when added with its mean gives the cube of that mean

 1 x 2 x 3 + 2 = 2³

2 x 3 x 4 + 3 =  3³

3 x 4 x 5 + 4 = 4³

In terms of n

n x (n+1) x (n+2) + (n+1) = (n+1)³

The square and cube of successive numbers are related with successive triangular numbers T_n

 which are nothing but the sum of natural numbers from 1 to n, 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78………. [n(n+1)]/2

1²  = 1

2²  =  2 + 2(1)

3² = 3 + 2(3)

4² = 4  + 2(6)

n²  = n + 2(T_n-1)

The cubes have different correlation with the triangle numbers

1³ = 1

2³  = 2 + 6(1)

3³ =  3 + 6 (1+3)

4³  = 4 + 6(1+3+6) 

n³  = n + 6 x (∑ T_n-1)²

The fourth power of a number

1⁴  = 1

2⁴  =  2²  + 12 (1)                                                                        

3⁴ =  3²  + 12 (1+4)

4⁴   = 4²  + 12( 1+4+ 9)

In general, n⁴  = n² + 12  ^n-1∑ x²           

                                              ¹

More about Triangular numbers
Introduction:
The triangular number is a kind of figurate number that can be represented in the form of a triangular grid of dots or unit number 1, where the rows denotes its order n and the total counts up to that row gives the n th  triangular number. Simply said , the sum of the natural numbers up to n  is the n th triangular number and is denoted by Tn. which can be mathematically expressed as  Tn  =  n (n+1)/2. 
Properties of Triangular numbers;
The triangular numbers has many interesting properties. Some of them are 
1. All perfect numbers  are invariably triangular numbers. First few triangular numbers which are also perfect are 6 (T3) . 28 (T7), 496 (T31), 8128 (T127) 2. The natural series of triangular numbers are continuous alternate blocks of pair of odd and even numbers The sum of two numbers in any block gives even square while one from a block and the neighbouring  number in the adjacent block gives odd square. In all cases the sum of any two successive triangular numbers is a square of higher order among them Tn-1 + Tn  = n2  and Tn  + Tn+1  = (n+1)2. Subtracting one from the other we get an identity (n+1)2 – n2 =   Tn+1   -  Tn-1  = (2n +1) , which predicts that an odd number can be represented not only as a difference of  squares of two numbers with a difference of odd number but also as a difference of two triangular numbers whose orders are one above and below n. The difference between the fourth powers of any two successive numbers gives yet another identity  (n+1)4  - n4 = (2n+1) [ Tn+1 + Tn-1  + 2Tn] 3. A square can be expressed in terms of triangular numbers by three ways. n2  = Tn-1 + Tn = T(n2)  - T (n2 – 1)  = n + 2Tn-1’  It gives an identity T(n2) – Tn  = T(n2 -1) – Tn-1
4. With any successive three triangular numbers Tn-1, Tn ,Tn+1  , one can get an identity Tn-1 + T (n2) + Tn+1  = (n+1)2. A kind of discipline is found in such identity with 5,7,9------ successive triangular numbers. Tn-2 + Tn-1 + T (n2) + Tn+1 + Tn+2 = (n+2)2  + 1 Tn-3 +      Tn-2 + Tn-1 + T (n2) + Tn+1 + Tn+2 + Tn+3   = (n+3)2  + (1+4) Tn-4 + Tn-3 + Tn-2 + Tn-1 + T (n2) + Tn+1 + Tn+2 +Tn+3 + Tn+4 = (n+4)2 + (1+4+9) In general with m number of triangular numbers above and below the n th  triangular number, we get

 Tn-m  + Tn-m+1 + Tn-m+2 + ………………….  Tn2 + Tn+1 + Tn+2 + …………… Tn+m  = (n+m)2 +   (m-1) ∑ x2                                                                                                                                                     1                                       
          5 .  Any three triangular numbers with a common difference D in its order shows yet                                                                                                                                                  another numeral discipline
                   D = 1,  Tn-1 + (Tn)2  + Tn+1   = (Tn + 1)2       D = 2 , Tn-2  +  (Tn)2  + Tn+2  = (Tn  + 1)2 + (22  - 1)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 D = 3 , Tn-3  +  (Tn)2  + Tn+3  = (Tn + 1)2  + (32 – 1)                                                                                                                                                       In general, when any common difference D = m, Tn-m  +  (Tn)2  + Tn+m  = (Tn  + 1)2  + (m2 – 1) 6 Not only square but also any Power of any number cab be expressed in terms of triangular numbers. n3 = (Tn-1 + Tn) n  = n + 6 [ n-1 ∑ Tx ]                    1                         n4 = n2  + 4 Tn Tn-1 n5  = n3  + 6 n2   n-1 ∑ Tx    = n3  + 4n Tn-1  Tn
                                           
1 n6 = n2 + 12 [ n2 + 3 n-1 ∑ Tx ]  [n-1 ∑ Tx]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                1                            1  7     The Pythagorean triples (a,b,c) satisfying the relation  a2  + b2   = c2  have some correlation with its corresponding triangular numbers. Substituting the values for a.b.c  in  terms of triangular numbers using the property (3) we have . T (c2) – T(b2) – T(a2)   =  T(c2 -1) – T(b2 – 1)  - T (a2 – 1)  = (ab)2                      Tc – Tb  - Ta   = Tc-1 – Tb-1 – Ta-1 a + b – c = 2 [ Tc-1 – Tb-1 – Ta-1]  It gives an additional condition required for Fermat’s assertion that  the relation an  + bn  = cn  where a,b,c are all positive integers  and the exponent n > 2 has no whole integral solutions.

T(cn)  -  T(bn)  - T(an)  = T(cn- 1)  - T(bn-1) – T(an- 1)

               8. Innumerable identities can be obtained for every Beal’s expression.  Considering the simplest                                                                                                                                                                                                                                                 irreducible form of a Beal’s relation  1+ 8 = 9 and using the property (3) we have                 T1 + T64 – 2T7 – T63  = T81 – 2T8  - T80             9. There are infinitely many square triangular numbers,  the first few positive numbers are               1(T1),36(T8) ,1225 (T49),41616 (T288) ,1413721(T1681) ,48024900 (T9800) ,1631432881( T57121),55420693056 (T332928)………… The order and the corresponding square triangular numbers can be determined very
simply from the knowledge of the two product factors of any known square triangular number.  Let a2 and b2  are the two product factors of a square triangular number Tx . If a and b are both odd and b>a, then the order of the square triangular number is b2, if a is even and b is odd, then its order will be          b2 – 1. One of the two product factors of the next higher order square triangular number would invariably be  (a+b)2 and the other product factor depends upon the odd-evenness of the given factors a,b. If both are odd the other product factors is (a+b+  smaller odd number in a,b)2, if one is odd and other is even, the other product factors is (a+b + even number in a,b)2.    Conclusion:  The identities with triangular numbers can be used as a tool  to study  relations in number theory 

 Logical proofs for Fermat’s Last Theorem

With the help of elliptic curve, Gerardin [4] derived a general expression for the equal sum of two, two fourth powers. It gives a way to prove FLT logically.

(a + 3a² – 2a³  + a⁵  + a⁷)⁴  + ( 1 + a² -2a⁴ -3a⁵  + a⁶ )⁴  =  (a - 3a² – 2a³  + a⁵  + a⁷)⁴  + ( 1 + a² -2a⁴ +3a⁵  + a⁶ )⁴

If one of the members is made to be equal to zero, the remaining relation will not be true for any integral values. The conditions  1 ± 3a + a⁴  + a⁶  = 2a²  due to disparity of odd-evenness and 1 = a² ( 2a² ± 3a³  - 1 – a⁴)  give only impractical solutions which can be considered as a confirmation of FLT.

 

FLT - Proof from Beal's relation

Proof of Fermat’s Last Theorem from Beal’s relation

Abstract:  Multi-power relations with reference to Beal are discussed with  numerical examples. Some additional properties of Beal’s conjecture are also identified to prove FLT

Keywords: Fermat Last Theorem, Beal Conjecture, Number theory

Introduction

Fermat’s last theorem says that integral solutions for a^x  +  b^y   = c^z  are not possible when all the exponents are same and greater than or equal to 3 . However it is possible if atleast one of the exponents is different. In such multi-power relations, according to Beal [1-3] the members when  all the  three members  a,b,c and the exponents x,y,z  are all positive integers such that (x,y,z) > 2, invariably have one or more common factors. Conversely the equation  a^x  +  b^y   = c^z has no solutions for any positive integers a,b,c,x,y and z with (x,y,z)  > 2  for any set of co-prime (a,b,c).The three members like or unlike power relations described by  the Fermat’s assertion and Beal conjecture respectively  have some similarities and differences.

The observed similarities are (i)  All the members can be even, then the relation will be reducible. All the members cannot be odd due to non-conservation of oddness (ii) One or two members but not all the three may be square or higher power but all the members cannot be square or with the same higher power, (iii) all the three members cannot be simultaneously primes (iv) FLT and Beal conjecture are mathematically true with fractional and rational or complex numbers, and (v) In irreducible form, both the FLT and Beal conjecture do not have a common prime factor among the members

Among the differences the most significant are (i) In a^x  + b^y  = c^z , FLT requires that a,b,c cannot be positive integers when the exponents x,y,z are same and greater than 2, but they can be in Beal’s expression  when the exponents are different (ii) In FLt, a + b will always be greater than c. but it can be greater, lesser or even be equal depending upon the value of the exponents

In this paper Beal’s expression in the form of aⁿ + aⁿ  = 2^m is studied to investigate more properties of Beal’s conjecture and by using such properties FLT is proved.  

 Multi-Power Relation of type aⁿ + aⁿ  = 2^m

We know that aⁿ + aⁿ  =  2 aⁿ, To make 2aⁿ  to be a power of a number the only possibility is “a” itself must be  equal to 2^x . Under this condition it gives  2^nx + 2^nx = 2^nx+1 , where n and x have all positive whole integral values. For different values of x we have

2ⁿ  +   2ⁿ    =  2^{n + 1}

4ⁿ    +  4ⁿ    =  2^{2n + 1}

8ⁿ    +  8ⁿ   =  2^{3n + 1}

16ⁿ  +  16ⁿ  = 2^{4n + 1}

32ⁿ   + 32ⁿ   =  2^{5n + 1}

All of them have common prime factor 2 with which they can be reduced to an irreducible form 1 + 1 = 2, which is a fundamental requirement for this type of relations. Any power of 2 can be a common multiplier to generate multi-power relations with bigger numbers. For example  2ⁿ  +   2ⁿ    =  2^{n + 1} gives  2²ⁿ⁺¹  + 2²ⁿ⁺¹  = 4ⁿ⁺¹ when all the members are multiplied by 2ⁿ⁺¹ .

This method of getting multi-power relations, gives an ingenuous explanation for Fermat’s Last Theorem. Sum of two identical cubes can be expressed as a square or fourth or fifth power of a number, but never as a single cube or with any exponents of multiples of three.

(2x²)³ + (2x²)³ =(2²x³)²      (2x⁴)³  + (2x⁴)³  = (2x³)⁴                (2³x⁵)³ + (2³ x⁵)³  = (2² x³)⁵

2³ + 2³ =  4²                                       32³ + 32³   = 16⁴                                  8³  +  8³  =  4⁵

8³ + 8³  =  32²                                  162³ + 162³ = 54⁴                             256³  + 256³  = 32⁵

18³  + 18³  = 108²                        512³  + 512³ = 128⁴                         1944³ + 1944³  = 108⁵

When the exponent of the sum is in the form of  3n+2, the Beal, expression of this type is

[2²ⁿ⁺¹ xⁿ ]³  + [2²ⁿ⁺¹ xⁿ ]³ = (2² x³)^{3n +2}, and it is (2ⁿ xⁿ)³ + (2ⁿ xⁿ)³  = (2x³) ³ⁿ⁺¹  when the exponent is in the form of 3n + 1. It is noted that the exponent of the sum will never be in the form of 3n.. To be true, it should satisfy the relation  (2ⁿ xⁿ)³   + (2ⁿ xⁿ)³   = (2^m  x)³ⁿ which necessitates  the condition 2^{3n + 1}  = 2^3mn

No integer values for n and m satisfy this condition, which substantiates the Fermat’s last Theorem without any further argument.