ஒரு பக்கமுள்ள இரு இருமடிகளும் ஒரே மூல எண்களைக் கொண்டிருக்கும்   2R22  தொடர்புககளில்காணப்படும்  மாற்றங்களை அறிந்து  ஒரே ஒரு காரணியால் நிறுவக்கூடிய ஒரு பொதுவான அல்ஜீப்ரா தொடர்பை  ஏற்படுத்தமுடியும் . இந்த வழிமுறை மூலம் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுடன் கூடிய  எண் தொடர்பை சட்டெனெ நிறுவமுடியும் 

 

                            1^2  +  7^2   = 5^2  + 5^2  = 50

                            7^2  +  17^2   = 13^2  + 13^2  = 338

                            17^2  + 31^2   = 25^2  + 25^2  = 1250

                            31^2  + 49^2   = 41^2  + 41^2  = 3362

                            49^2  +  71^2   =61^2  + 61^2  = 7442

                            71^2    + 97^2   = 85^2  + 85^2  = 14450

                            97^2  + 127^2   =113^2  + 113^2  = 25538 

ஒரு பக்கமுள்ள இரு இருமடி மூல எண்கள் யாவும் 4  ன்  ஒரு மடங்கை விட ௧ கூடுதலாக உள்ளது . அதாவது அவை 4 ( 1+ 2 + 3+ 4........ n) = 2n(n+1) என்ற தொடர்பிற்கு உட்பட்ட எண்களாக இருக்கின்றன.மறுபக்கமுள்ள இரு மூல எண்களும் ஒரு காரணியால் வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்பால் நிறுவப்படும் அடுத்தடுத்த எண்களாக இருக்கின்றன . இதை [2n(n+2)+1] என்று நாம் நிறுவலாம். எனவே இந்த எண் தொடர்புகளுக்கான அல்ஜீப்ரா தொடர்பு  

       [2n(n+2)+1]^2  + [2(n+1)(n+3)+1]^2  =  [2n(n+2)+1]^2   + [2n(n+2)+1]^2

 இரு பிதகோரஸ்  மூவெண் அணிகளைக்கொண்டு  ஒன்றுக்குமேற்பட்ட  4R4^2  எண் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம் . (x,y=z), (a,b=c)   என்ற இரண்டும் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் இரு பிதகோரஸ் மூவெண் அணிகளாக இருக்கட்டும்

(x-a)^2 + (x+a)^2 + (y-b)^2 + (y+b)^2 = (x-b)^2  + (x+b)^2 + (y-a)^2   + (y+a)^2 

                                                                                   = 2( x^2 + y^2 + a^2 +b^2) = 2 (z^2 +c^2 )

எ.கா (3,4=5), (5,12=13)  க் கொண்டு

    (5-3)^2 + (5+3)^2 + (12-4)^2 + (12+4)^2  = (5-4)^2  + (5+4)^2 + (12-3)^2 + (12+3)^2

             2^2 +8^2  + 8^2  + 16^2 = 1^2 + 9^2  + 9^2 + 15^2 =388 

2R2^2  தொடர்புகளைக் கொண்டு புதிய 2R2^2   தொடர்புகளையும்   பிதகோரஸ் தொடர்புகளையும் நிறுவமுடியும்  a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = n என்ற ஒரு  2R2^2  தொடர்பைக் கருதுவோம்  

                                (a+b)^2 + (a-b)^2  = (c+d)^2 + (c-d)^2  = 2 (a^2 +b^2 ) = 2(c^2 + d^2) = 2n

எ.கா  2^2  + 11^2  = 5^2  + 10^2 --->  9^2  + 13^2 = 5^2 + 15^2 

ஒரு பக்கமுள்ள இரு இருமுடி மூல எண்களும் ஒரே எண்ணாக இருக்கும் நிலையில் இது பிதகோரஸ் தொடர்பைத் தருகின்றது 

எ.கா  1^2  + 7^2  = 5^2  + 5^2 --->  6^2  + 8^2 = 10^2  

                  7^2  +17^2  = 13^2  + 13^2 --->  10^2  + 24^2 = 26^2  

 இரு எண்களின் பெருக்குத் தொகையின் இருமடங்கு ஒரு இருமடியா க இருக்குமாறு இரு எண்களைத் தேர்வு செய்துகொண்டு அவற்றின் வேறுபாட்டின் இருமடியைவிரித்து எழுத இது போன்ற தொடர்புகள் கிடைக்கின்றன 

எ.கா .  (32-1)2  = 31^2  = 32^2  +  1^2  - 64 = 32^2  +  1^2  -  8^2 

                                                                                              31^2  + 8^2  = 32^2 + 1^2

 (16-2)^2  = 14^2  = 16^2  +  2^2  - 64 = 16^2  +  2^2  -  8^2 

                                                                                              14^2  + 8^2  = 16^2 + 2^2

இவற்றின் கூட்டுத் தொகையை விரித்து எழுத  ஒரு இருமடி, மூன்று இருமடிகளின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமமாக இருக்குமாறான தொடர்பை ஏற்படுத்தமுடியும்

(32+1)^2  = 33^2  = 32^2  +  1^2  + 64 = 32^2  +  1^2  +  8^2 

(16 +2)^2  = 18^2  = 16^2  +  2^2  + 64 = 16^2  +  2^2  + 8^2 

 பிதகோரஸ்  மூவெண்களைக் கொண்டு ஒரு இருமடிகளின் கூட்டுத் தொகை இருவேறு இருமடிகளின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும் தொடர்புகளை நிறுவமுடியும்  (x,y,z=z), (a,b=c)  என்ற இரு  பிதகோரஸ்  மூவெண்களை எடுத்துக்கொள்வோம் . 

                                              x^2  +  y^2   =  z^2  ;  a^2  + b^2  = c^2

x^2  +  y^2   =  z^2  x a^2 --->  (ax)^2  +  a^2 y^2 = (az)^2

                                              =     (ax)^2  + (c^2 - b^2 ) y^2  =(az)^2

                                              =   (ax)^2  +(cy)^2  = (az)^2 + (by)^2

இவ்வழிமுறையில்  a யும்  b யும்  இடமாற்றிக்கொள்ளலாம்  என்பதால்  

                                      (bx)^2  + (by)^2  = (bz)^2 

                                     (bx)^2  + (c^2 - a^2) y^2  = (bz)^2

                                                     (bx)^2  + (cy)^2  = (bz)^2  +  (ay)^2

   (3,4=5) , (5,12,13) போன்ற இரு பிதகோரஸ் மூவெண்களைக் கொண்டு   

 15^2 + 52^2  = 25^2 + 48^2 = 2929

39^2 + 20^2 = 25^2 + 36^2 = 1921

 _Solving the Diophanitine equation by algebraic method

The very simple innovtive way to derive numerical examples for Diophantine equation of any order with any exponent is explained here. At first assume an algebraic expression with two or three unknowns as a general form for the required Diophantine euation. Then by assuming its dependance one can reduce the numer of unknowns to a minimum of 2. Giving a suitable value to an unknown the value of other unknown can be fixed,which finally provide a group of numerical examples for the Diophantine equation considered. 

As an example . let us try with the Diophantine equation where the sum of two fourth powers is equal to sum of two other fourth powers  A4  + B4  = C4  + D4 

 A4  + B4  = C4  + D4  -------> (a-x)4  + (b+y)4 = (a+y)4  + (b+x)4 , where x,y,a and b are some unknowns .The condition b = ka reduces one unknown.

- 4a3x + 4k3a3y              =  4 a3 y + 4 k3 a3 x

  6a2x2  + 6k2a2 y2           6a2 y2  + 6k2a2 x2

 - 4ax3 + 4kay3                      4 a y3 + 4kax3

Let us assume tht the first two terms in the RHS is equal  to the first two terms in LHS which relates x with y. 

- 4a3x + 4k3a3y              =  4 a3 y + 4 k3 a3 x

k3 (y-x) = (y+x)  or y = [ (k3 +1)/(k3 -1)] x

The sum of the remaining four terms must be equal.

 3ax2  + 3k2a y2  - 2x3 + 2ky3  =   3a y2  + 3k2a x2   +   2  y3 + 2k  x3

3ax2  - 2x3 + 2kx3 - 3k2 ax2  =   3a y2  - 3k2a y2   +   2  y3 - 2k y3

                                         = 3a [(k3 +1)/(k3 -1)]2 x2  + 2[(k3 +1)/(k3 -1)]3 x3  - 2k [(k3 +1)/(k3 -1)]3 x3     

                                                                                                              - 3k2 a[(k3 +1)/(k3 -1)]2 x2

x2 is common and rearranging the terms with  a and without a, we get

3a(k2 -1){[(k3 +1)2 - (k3 -1)2]/(k3 -1)2} 

 

                                                    = 2x{ [ (k+1)(k3 -1)3  - (k-1) (k3 +1)3]/ (k3-1)3 }

which gives  a = [2x/3(k2  -1)]{ [ (k+1)(k3 -1)3  - (k-1) (k3 +1)3]/ (k3 -1) [ (k3 +1)2 - (k3 -1)2] }

when k = 2; a = x (2/9)[300/(7x32)]=(25/84) x  ; and  y = (9/7)x

If a = 25, x = 84 , b = 2x = 50 and y =108  the sum of equal fourth power relation becomes  594 + 1584  = 1334 + 1344

When k =3; a = x (2/24){[4(26)3- 2(28)3]/ [26(282 - 262 )} = 275/351 x 

If x = 351 ; a = 275; b = 3a =825  and y = (14/13)x =378 givws 764 + 12034 = 6534 + 11`764  

 இரு இருமடிகளின் கூட்டுத் தொகையும் இருவேறு இருமடிகளின் கூட்டுத் தொகையும் சமமாயிருக்கும் சமன் தொடர்புகள்

இரு இருமடிகளின் கூட்டுத் தொகையை  இருவேறு இருமடிகளின் கூட்டுத் தொகை க்குச் சமமாயிருக்கும் சமன் தொடர்புகளை 2R2^2 என்று குறிப்பிடுவார்கள் . இத் தகைய பண்பினைப் பெற்றுள்ள மிகச் சிறிய எண் 65 ஆகும் . 1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2  = 65 ஒரு பக்கம் ஒரே இருமடியை இருமுறை பயன்படுத்தலாம் என்றால் 50  மிகச் சிறிய  எண்ணாகும் 1^2 + 7^2 = 5^2 + 5^2  = 50.இது போன்ற எண் தொடர்புகளை அல்ஜீப்ராவின் துணை கொண்டுநிறுவ முடியும். மதிப்புத் தெரியாத ஓரிரு எண்களை உட்புகுத்தி நிபந்தனைத் தொடர்புகளை வருவித்து சமன் தொடர்புக்கு இணக்கமாக அவற்றின் மதிப்புக்களை அறியலாம் . 

வழிமுறை - 1

பிதகோரஸ் மூவெண்களைக் கொண்டு இது போன்ற எண் தொடர்புகளை ஏற்படுத்த முடியும்.  ( a,b,c ) என்பது ஒரு பிதகோரஸ் மூவெண்ணாக இருக்கட்டும். ஒரு மூவெண் அணியிலுள்ள இரு சிறிய எண்களின் கூட்டுத்தொகையின் இருமடியை எடுத்துக்கொள்வோம்

(a+b)^2 = a^2 + b^2  + 2ab =  c^2  + 2ab

2ab யின் மதிப்பு இரு இருமடிகளின் வேறுபாடாக இருக்குமாறு அமைத்துக்கொள்ளலாம் . 

2ab = y^2  -  x^2 = (y-x) (y+x)

இது போன்ற தொடர்புகளைத் தீர்வு செய்வதற்கு நிச்சியமாக வழிமுறையொன்று உள்ளது .   y- x = 2 or 2a or 2b  or 2a/k எனில்  y+x = ab or b or a or kb .இவற்றைத் தீர்வு செய்து x,y-  ன் மதிப்புக்களை அறியலாம்.   2 y = ab+2 or  b + 2a or a  + 2b or (k2b + 2a)/k; 2x = ab-2 or b-2a or a - 2b or (k2b - 2a)/k.  

        (a+b)^2 + x^2  = c^2 + y^2 = (a+b)^2  + [(ab -2)/2]^2  = c^2  + [(ab + 2)/2]^2 

                                                   =  (a+b)^2  + [(b-2a)/2]^2  = c^2  + [(b + 2a)/2]^2

                                                   = (a+b)^2  + [(a-2b)/2]^2  = c^2  + [(a + 2b)/2]^2 

                                                   =  (a+b)^2  + [(ab-2k^2)/2k]^2  = c^2  + [(ab + 2 k^2)/2k]^2 

(8,15,17) என்ற பிதகோரஸ் மூவெண்ணை உட்படுத்தி  இதை விளக்கிக் கொள்வோம்.

 23^2  +  59^2  =  17^2 + 61^2 = 4010 

23^2  +  (0.5)^2  =  17^2 + (15.5)^2 = 529.25

23 ^2  +  11^2  =  17^2 + 19^2 = 650

முழு எண்களுடனான தீர்வுகளுக்கு ஏற்ப k ன் மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுத்துக் கொள்ளலாம் .

k =2 ; 23^2  + 28^2  =  17^2 + 32^2 = 1313

k=3 ;  23^2  + 17^2  =  17^2 + 23^2 =   818

k= 5; 23^2  + 7^2  =     17^2 +17^2  =   578

k=6; 23^2  +   4^2  =   17^2 + 16^2 =    545

வழிமுறை -2 

நான்கு சார்பிலா உறுப்புக்களைக்கொண்டு 2R2^2   க்கான  எண்தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம். (a,b,x,y) நான்கும் ஒன்றுக்கொன்று சார்பில்லா எண்களாக இருக்கட்டும் .இவற்றைக்கொண்டு (ax+by)^2  + (bx-ay)^2  = (ax- by)^2 + (bx+ay)^2 = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)  என்ற தொடர்பை நிறுவலாம் .

a=2 ,b=3 ,x=4 ,y= 5 என்று கொண்டால்  23^2 + 2^2 = 7^2 + 22^2  = 533

Recreational Mathematics- Thavakkai Academy of Creative Thinking and Ski...