பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம்-8

நிரூபணம் -7

வகுப்பான் கணிதம்

வகுப்பான் கணிதத்தின் மூலம்  எண் தொடர்புகளை நிறுவமுடியாவிட்டாலும் அதற்கு முன்னரே அதற்கான வாய்ப்பைப்பற்றித் தெரிந்துகொள்ள முடிகின்றது ..-

எடுத்துக்காட்டாக வகுப்பான் கணிதத்தைக் கொண்டு ₃⁴ R⁴₁  வகைத் தொடர்புகள் சாத்தியமா , சாத்தியமில்லையா என்பதை அறிந்து கொண்டு முயற்சியைத் தொடரமுடிகின்றது . இத் தொடர்புகள் (ஒட்றை , ஒட்றை ,ஒட்றை = இரட்டை ) , (ஒட்றை ,இரட்டை , ஒட்றை = இரட்டை) , (ஒட்றை , இரட்டை , இரட்டை = ஒட்றை )  என்ற மூன்று வகைக்குள் மட்டும் அடங்கும்.(இரட்டை, இரட்டை, இரட்டை=இரட்டை) சுருங்கும் தொடர்பாக இருப்பதால் அதைத் தவிர்த்துவிடலாம். ,மீதமுள்ள மூன்றுள், முதல் மற்றும் இரண்டாவது வகைகள் வகுப்பான் கணிதத்தால் தவிர்க்கப் படுகின்றன. ஏனெனில்  (2n+1)⁴  mod 16 = 1 , (2n)⁴ mod 16 = 0 .  மூன்று ஒட்றை எண்களின் நான்கு மடிகளின் கூடுதல் ஒரு ஒற்றை எண்ணின் நான்கு மடியாக இருக்க முடியாது  என்று தெரிவிப்பதோடு  இவ்வகைத் தொடர்புகள் (ஒட்றை இரட்டை, இரட்டை = ஒட்றை ) ஆக மட்டுமே அமையும் என்றும் தெரிவிக்கின்றது.

நான்கு எண்களின் நான்கு மடிகளின் கூடுதலை ஒரு நான்கு மடியாகக் காட்டும்  எண் தொடர்புகளில்  ( ஒற்றை ,ஒற்றை ,ஒற்றை ,ஒற்றை =இரட்டை  ) , (ஒற்றை ஒற்றை ,ஒற்றை ,இரட்டை =ஒற்றை )( ஒற்றை ,ஒற்றை, இரட்டை இரட்டை = இரட்டை ) போன்ற தொடர்புகள்  ஒற்றை -இரட்டைச் சமனால் அனுமதிக்கப்பட்டாலும் , வகுப்பான் கணிதத்தால் அனுமதிக்கப்படுவதில்லை என்பதால் தவிர்க்கப்படுகின்றன. . வகுப்பான் கணிதம்  இவ்வகைத் தொடர்புகள்  (ஒற்றை ,இரட்டை ,இரட்டை ,இரட்டை =,ஒற்றை ) ஆக மட்டுமே இருக்க முடியும் என்று தெரிவிக்கின்றனது.( பார்க்க: டையோபோன்டைன் (Diophantine) சமன்பாடுகள் - நான்கு மடிகள்)  

பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்தை   முழு எண்களாலான  மும்மடிகளைக் கொண்ட    ஒரு பொதுத் தொடர்பைக் கொண்டு எளிதாக நிரூபித்து பொதுமைப்படுத்திக் கொள்ளவும் முடியும்

a³ + b³= c³  என்ற பொதுத் தொடர்பிலிருந்து  a³ = c³- b³ = (c-b) (c² = cb + b²). இதற்கு முழு எண்களாலான எண் தொடர்பு சாத்தியம் என்றால் a+b > c  என்பதால் a + b = c + k , இதில் k யும் முழு எண்ணாக இருக்கவேண்டும்.  a³ mod (c – b) = 0 என்பதால் a³  = m(c – b) என்றும் c³ – b³ mod a = 0 என்பதால் c³ – b³ = n a என்றும் கொள்ளலாம். இதில் m, n   இரண்டும்  முழு எண்களாகும். a³ = c³- b³  என்ற தொடர்பில் இம் மதிப்புக்களைப் பதிலீடு செய்ய, m (c-b ) = m (a-k)= na என்ற நிபந்தனையைப் பெறலாம். இதிலிருந்து a = nk/(m-n)  என்றும்  இதை  a-k = c-b ல் பதிலீடு செய்து  (c – b) = nk/(m-n)  என்றும்  பெறலாம். இதிலிருந்து (c-b)/a = n/m  = a²/ (c²+cb+b²) என்ற தொடர்பைப்  பெறலாம்.

₂ⁿ Rⁿ₁  தொடர்பிலுள்ள உறுப்புக்களை இரு பெருக்கல் காரணிகளாக்கிக் கொண்டு , அதை இரு வேறு பின்னங்களின் சமமாகக் காட்டினால் அது n = 2 என்ற நிலையில் மட்டுமே சமமாகக் காட்ட முடிகின்றது. உயர் மடிகளுக்கு சமமாகக் காட்ட முடிவதில்லை  

இருமடித்  தொடர்புகளில்       (c-b)/a   =n/m=  a/(c+b)  . சில குறிப்பிட்ட  a.b.c  ன்  முழு எண் மதிப்புக்களுக்கு இவ்விரு பின்னங்களும் சமமாக இருக்கின்றன.    இதில் a =     (m/n )(c-b)    என்ற மதிப்பை பதிலீடு செய்ய  n²/ m²    = (c-b)/(c+b) என்ற  நிறைவுறு நிபந்தனையைப் பெறலாம்.

மும்மடித்  தொடர்புகளில் (c-b)/a = n/m  = a²/ (c²+cb+b²). எந்த a,c,b-   ன் மதிப்புகளுக்கும் இவ்விரு பின்னங்களும் சமமாக இருப்பதில்லை. இது (n/m)³  = 1 – 3(cb/a²) (n/m)  என்ற தொடர்பைத் தருகின்றது .ஒரு குறிப்பிட்ட (n/m) -ன் மதிப்பிற்கு , எந்த a,b,c- ன் மதிப்புக்களும் இத் தொடர்பை நிறைவு செய்வதில்லை

இதை உயர் மடிகளாலான தொடர்புகளுக்கும் விரிவு படுத்தலாம் n = 3,5,7,---- (2n+1)

 என ஒட்றைப்படையில்  இருக்கும் போது aⁿ  = cⁿ - bⁿ   = (c-b) ( c^n-1 + c^n-2b + c^n-3 b²-  ...........  b^n-1)  எனில் cⁿ - bⁿ mod a = 0 என்பதால் cⁿ - bⁿ  = na என்றும் aⁿ mod (c-b) = 0 என்பதால் aⁿ = m (c - b) என்றும் கொள்ளலாம். na = m(c - b). என்ற நிபந்தனையும் m>n ,  a+b^` = c + k என்ற கட்டாயமும் இணைந்து  a  =ன் மதிப்பை a = mk/(m-n) எனத் தெரிவிக்கின்றது  

(c-b)/a^n-x =  a^x/( c^n-1 + c^n-2b + c^n-3 b²-  ...........  b^n-1). a,b,c மற்றும் x  ன் எம்  முழு எண் மதிப்புகளுக்கும் இவ்விரு பின்னங்களும் சமமாக இருப்பதில்லை,

a⁴  = c⁴ – b⁴ = (c² – b² ) (c² + b²) என்ற தொடர்பில்  a⁴ mod (c²– b² ) = 0 என்பதால் a⁴=m (c² –     b ²), (c⁴ – b⁴ ) mod a²  = 0 என்பதால் (c^a – b⁴ ) = n a² . இது m (c² – b²) = n a²  , m >n என்ற நிபந்தனைத் தருகின்றது. a² + b² = c² +k என்பதால்   a² = mk /(m-n). a²/ (c²- b²) = (c²+ b²)/a² என்ற தொடர்பிற்கு a,b,c ன் எம் முழு எண் மதிப்புக்களும் சமமான பின்னத்தைத் தருவதில்லை..

₂ⁿRⁿ₁  தொடர்புகளில்  aⁿ + bⁿ =cⁿ à  1 + (b/a)ⁿ  = (c/a)ⁿ  இதில்  (b/a) முழு எண்ணாக இருந்தால் (c/a)  முழு எண்ணாக இருப்பதில்லை. (c/a) முழு எண்ணாக இருந்தால் (b/a)  முழு எண்ணாக இருப்பதில்லை. அதாவது முழு எண்களாலான  1 + qⁿ = rⁿ தொடர்பு (n > 2) இல்லை. வேறு விதமாக இதை  முழு எண்களாலான மேல் மற்றும் கீழ் கூறுகளைக் கொண்ட  இரு வேறு பின்னங்களை  (c-b)/a^n-x =  a^x/(c^n-1 + c^n-2b + c^n-3 b²-  ...........  b^n-1). சமமாகக் காட்டமுடியாது என்றும் கூறலாம். இது பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்தை நிரூபிக்கின்றது.