பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம் -7

நிரூபணம் -6

₂³Rⁿ₁  தொடர்புகளில் n ≠ 3

 

இரு வேறு  எண்களின் இருமடிகளின் கூடுதலை  மற்றோர் எண்ணின் ஏதாவதொரு மடிக்குச் சமமாகக் காட்டமுடியும். a²  + b² = cⁿ  ( n = 1,2,3,4,5......). இது இருமடிக்கு மட்டும் உள்ள ஒரு தனிச் சிறப்பாகும். .

(1).a²  + b² = cⁿ

இரு வேறு இருமடிகளின்  கூடுதலை வேறொரு இருமடியாகக் காட்ட   முடியும் என்பதை நிறுவும் சில பொதுத் தொடர்புகளை பிதகோரஸ் தொடர்பு என்பர். அதற்கு எண்ணிறைந்த பொதுத் தொடர்புகள் அறியப்பட்டுள்ளன . ஒரு சில பின்வருமாறு

 (2na)²  + (a² – n²)² = (a² + n²)²

[4(2n+1)]² + (4n² + 4n -3)² = (4n² + 4n + 5)²

 (2n+1)²  + [2n(n+1)]²  = (2n² + 2n + 1)²

(2n+4)² + (n² +4n +3)² = (n² + 4n+ 5)²

[6(n+6)]² + (n²+12n +27)² = (n² +12n + 45)²

(100n² + 80 n +7)² + [12(5x+2)² = ( 100n² + 80n + 25)²

இது போன்ற தொடர்புகளில் மூன்று மடி மூல எண்களுக்குமிடையே பொதுக்காரணிகள் இருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக (3,4,5), (5,12,13) போன்ற பிதகோரஸ்  மூவெண்களைக் குறிப்பிடலாம். இதற்கு காரணம் இருமடிகளாலான  1 + [f₂ /f₁]²  = [f₃/f₁]² என்ற அடிப்படைத் தொடர்பில் f₁, f_2,, f₃ என்ற மூன்றும் முழு எண்களாலானதாகவும் , பொதுக் காரணிகள் இல்லாதிருக்குமாறும் அமைத்துக் கொள்ள முடிவதாகும் சுருங்கா பிதகோரஸ்  எண் தொடர்புகள் இவ்வகையினதாகும் . a² + b² = c²    என்ற தொடர்பில் 2ab    ஐ (a+b+c)    மற்றும்(a+b-c)   போன்ற காரணிகள் மீதமின்றி முழுமையாக வகுக்கின்றன. ₂²R²₁ தொடர்பில்  மூன்றும் இருமடிகளாக இருப்பதால் சம நிலை மாறாமல்  மடி மூல எண்களை எந்தவொரு எண்ணாலும் பெருக்கிக் கொள்ள  முடியும் . அப்படிப் பெருக்கப்படும் எண், தொடர்பிற்கு ஒரு பொதுக் காரணியாக அமைகின்றது  .(a,b,c) என்ற பிதகோரஸ்  மூவெண்களை x ஆல் பெருக்க x என்ற பொதுக்  காரணியுடன் கூடிய  (xa,xb,xc) என்ற மூவெண்  கிடைக்கின்றது. இவை எப்போதும் சுருங்கும் தொடர்புகளாகவே அமையும்

இரு வேறு  எண்களின் இருமடிகளின்  கூடுதலை  இருமடியாக மட்டுமின்றி உயர் மடிகளிலும் காட்ட முடியும். இரு வேறு  எண்களின் இருமடிகளின்  கூடுதலை  ஒரு மும்மடியாகக் காட்டும் சில பொதுத் தொடர்புகள்.

பொதுக் காரணியுடன்

a² + b² = c எனில் , (ac)² + (bc)²  = c³; a = 3 , b = 2 எனில் 39² + 26² = 13³

 [n^m(n^2m ±1)]²  ± (n^2m ± 1)² = (n^2m  ±1)³ 

[x^n/2(xⁿ + y^m )]² + [y^m/2(xⁿ + y^m )]²  = (xⁿ + y^m)³,  x,y =  இருமடி  எண்கள் 

a² + b²  = c³  என்ற தொடர்பில் உள்ள இருமடிகளில் ஏதேனும் ஒன்றை மட்டும் மும்மடியாக்கிக் கொள்ள முடியும். ஒன்றை மும்மடியாக்கிக் கொண்டால்  மற்றொன்றை மும்மடியாக்கிக்  கொள்ள முடிவதில்லை. ஒன்றுக்கு மேற்கொள்ளும் நிபந்தனை மற்றொன்றுக்கு பொருந்துவதில்லை . இரண்டிற்கும்  பொருத்தமான நிபந்தனையை கணித நெறிமுறைகளுக்கு இணங்க ஏற்படுத்த முடிவதில்லை  இந்த அகத் தடை காரணமாக  ₂³R³₁   வகைத் தொடர்புகளில் மூன்று மும்மடிகளின் மடி மூல எண்களும் முழு எண்களாக இருப்பதில்லை என்று கூறலாம் .

பொதுக் காரணியின்றி

[(a²- b²)² + (2ab)² = (a²+b²)² ]  x  (a²+b²) = (a³- 3ab²)² + (3a²b – b³)² = (a²+b²)³.

a=1 , b = 2 அல்லது a = 2, b =1 எனில் 2² + 11² = 5³
a=3. b = 2  எனில்  9² + 46² = 13³,

சில குறிப்பிட்ட  a,b- ன் மதிப்புகளுக்கு பொதுக் காரணியுடன் கூடிய எண் தொடர்புகளையும் இதன் மூலம் பெறலாம் . a= 1, b = 9 எனில் 18²  + 26² = 10³

பொதுக் காரணியுடன் ₂²R^,3₁  தொடர்புகள் அமைய  1+ q² = ar³  போன்ற நிபந்தனை வழிகாட்டுகின்றன . பொதுவாக நிபந்தனைத் தொடர்புகளுடன் ஏற்படுத்தப்படும் எந்தத் தொடர்பும் பொதுக்காரணியுடன் அமைகின்றன

.பொதுக் காரணியில்லாமல்  ₂²R³₁  தொடர்புகள் அமைய  1+ (q/a)² = ar³ அல்லது  1 + q² = r³/a²  அல்லது  1 + q²/ a² =     r³/ a² போன்ற நிபந்தனைகள் அவசியமாகின்றன. முதல்  நிபந்தனையின் படி  q² = a² ( ar³ – 1) .  ( ar³ – 1) = k² எனில்  q = ak என்ற  a ஐச் சார்ந்த மதிப்பும், இரண்டாவது நிபந்தனையின் படி  r³  = a² (q² + 1) என்ற a ஐச் சார்ந்த மதிப்பும் கிடைக்கின்றன. அதனால் a > 1 என்ற நிலையில் , மூன்று மடி மூலங்களுக்குமிடையே ஒரு பொதுக் காரணி அமைவதை தடுத்துக்கொள்ள முடிவதில்லை. மூன்றாவது நிபந்தனையின் படி அவைகளுக்கிடையே நேரியல் தொடர்பு இல்லாததால் பொதுக் காரணியின்றி மடி மூலங்கள் அமைகின்றன 

 ஒரே இருமடியை இருவேறு இருமடிகளின் கூடுதலாக இருவேறு விதமாகக் காட்டும் தொடர்புகளைக் கொண்டு ஒரே மும்மடியை இருவேறு இருமடிகளின் கூடுதலாக இரு வேறு விதமாகக் கட்டலாம் . எடுத்துக்காட்டாக 1² + 8² = 4² + 7² = 65 என்ற தொடர்பைக் கொண்டு  7² + 524² =  191² + 488² = 65³ என்ற தொடர்பைப் பெறலாம்.

(a,b,c) பிதகோரஸ்  மூவெண்ணாக  இருப்பின் இரு இருமடிகளின் கூடுதலை

 ஒரு நான்கு மடியாகக் காட்ட முடியும்.

பொதுக் காரணியுடன்  (ca)² + (cb)²  = (2ba)²  + (a² -  b²)²   =  c⁴

                                                [2x (x² +1)]² + (x⁴ – 1)² = (x² + 1)⁴

பொதுக் காரணியின்றி  (2ab)² + (a² –b²) = (a² + b²); a=5 , b = 12 எனில்  192² + 120² = 13⁴

₂²R⁴₁  தொடர்புகள் அமைய  1+ (q/a)² = a²r⁴ அல்லது  1 + q² = r⁴/a² போன்ற நிபந்தனைகள் அவசியமாகின்றது

இரு வேறு எண்களின் இருமடிகளின்   கூடுதலை ஒரு ஐந்து மடியாகக் காட்ட முடியும்.

பொதுக் காரணியுடன்

P² + q²  = r³ எனில்   (rp)² + (rq)² = r⁵

[a^n/2(aⁿ  + bⁿ)²]²  +  [b^n/2(aⁿ  + bⁿ)²]² = (aⁿ  + bⁿ )⁵

[[2a^mb^m (a^3m + 2b^3m)]² + [2a^mb^m (a^3m - 2b^3m)]²  = (2a^mb^m)⁵

-

a யும் b யும் பிதகோரஸ் மூவெண்களின் இரு சிறிய எண்களாக இருந்தால்  பொதுக்காரணியின்றி  a² + b²  = c⁶  என்ற தொடர்புக்கான எண் தொடர்புகளை நிறுவமுடியும். எடுத்துக்காட்டாக (5,12,13) என்ற மூவெண்களைக் கொண்டு 828² + 2035²  = 13⁶ என்ற தொடர்பைப் பெறலாம்.

இரு வேறு எண்களின் இருமடிகளின்   கூடுதலை n மடியாகக் காட்ட முடியும்.

a² + b² = c^n-2 எனில் , (ac)² + (bc)²  = cⁿ

p² ± q² = r² எனில் (r^(n-1)/2 p)² ± (r ^(n-1)/2q)²  = rⁿ

மடி மூல எண்கள் மூன்றும் மடியெண்களாக இருப்பதில்லை

இரண்டு இருமடிகளின் கூடுதலை வேறொரு இருமடியாக  அல்லது உயர் மடியாகக் காட்டமுடியும் என்றாலும் மூன்று மடி மூல எண்களும் மடிகளாகவும் , பகா எண்களாகவும் இருப்பதைத் தவிர்த்துக் கொள்கின்றன. ( நிரூபணம் -1 ல் இது பற்றி விவரிக்கப்பட்டுள்ளது ),

மூன்று மடி மூல எண்களும் மடியெண்களாக இருக்கமுடியாது என்பதை ஏதாவதொரு சமன்  தொடர்பைக்  கொண்டும்  மெய்ப்பிக்கலாம். (2k)² + (k² – 1)² = (k² + 1)² ல்  2k  =  xⁿ  எனில் அந்த மடி மூல  எண்ணை இருமடியாகவோ அல்லது    n மடியாகவோ காட்டலாம், பிற மடி மூல எண்களின் மதிப்பு k² – 1= (xⁿ/2)² – 1 , k² + 1 = (xⁿ/2)²  +1  . ஒரு இருமடி எண்ணோடு 1 ஐ க் கூட்டி அல்லது கழித்து மற்றொரு இருமடி எண்ணைப் பெறமுடியாது என்பதால் அவை  ஒரு போதும்   இருமடியாக இருக்க முடியாது. (xⁿ/2)²  ±1  ஐ ஒரு இருமடியாகவோ அல்லது ஒரு n  மடியாகவோ காட்ட முடிவதில்லை. மூன்று மடி மூல எண்களும் மடியெண்களாக இருப்பின் அது பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்தை மறுப்பதற்கு ஒப்பானதாகும் .₂ⁿRⁿ₁ வகைத் தொடர்புகளில்  மடி மூல எண்கள் மடியெண்களாக இருக்கமுடியாது  என்று நிரூபிப்பது  பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்தின் நிரூபணமாகும்

(2).a² – b² =cⁿ

இரண்டு இருமடிகளின் வேறுபாட்டை யும் ஒரு மும்மடியாக அல்லது வேறு எந்த மடியில் வேண்டுமானாலும் காட்ட முடியும். மும்மடியாகக் காட்டும் சில பொதுத் தொடர்புகள்

பொதுக் காரணியின்றி                                                                                                                        (2a³+1)² – (2a³ – 1)²  = (2a)³ , a = 1 எனில்  3² -  1² = 2³

பொதுக் காரணியுடன்

[n(n+1)/2]² – [n(n-1)/2]²   = n³ ; n = 3 எனில் 6² – 3² = 3³

 a² - b² = c எனில் , (ac)² - (bc)²  = c³  . a=6, b=5 எனில் 66² – 55² = 11³

pq = c எனில் [(c/2)(q+p)]² – [(c/2)(q-p)]²  = c³ ; p = 5,q=3 எனில்  60² – 15² = 15³

ஒட்றை மாறியுடன்   [n^m(n^2m ±1)]²  ± (n^2m ± 1)² = (n^2m  ±1)³

இரு மாறிகளுடன்  [a^n/2(aⁿ ± bⁿ)]² ± [b^n/2(aⁿ ± bⁿ)]²  = (aⁿ ± bⁿ)]³

முக்கோண எண்களைக் கொண்டும் ஒரு மும்மடியைக் குறிப்பிடலாம்

T_n² – T ²_n-1 = n³ . இதில் T_n = [n(n+1/2] 

நான்கு மடியாகக் காட்டும் சில பொதுத் தொடர்புகள்

a² - b² = c² எனில் , (ac)² - (bc)²  = c⁴; a = 13, b = 5 எனில்  156² – 60² = 12⁴

pq = c² எனில் [(c/2)(q+p)]² – [(c/2)(q-p)]²  = c⁴; p = 2 , q=8 எனில் 20² – 12² = 4³

(2a⁴ +2b⁴)² – (2a⁴ – 2b⁴)² = (2ab)⁴ ; a = 3 , b = 2 எனில்  194² – 130² = 12⁴

பிதகோரஸ்  மூவெண்களில்  சிறிய எண்களுள் ஒன்று இருமடி எண்ணாக இருக்குமானால் பொதுக்காரணியற்ற a² – b² = c⁴   தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம் . எடுத்துக்காட்டுகள்- (3,4,5) ; 5² – 3² = 2⁴  ;(36,77,85) ; 85² – 77² = 6⁴

ஐந்து மடியாகக் காட்டும் சில பொதுத்  தொடர்புகள்

a² - b²  = c³ எனில்   (ac)² - (bc)² = c⁵; a = 3 , b = 1 எனில் 6² – 2²  = 2⁵

pq = c³ எனில் [(c/2)(q+p)]² – [(c/2)(q-p)]²  = c⁵ ; p= 3, q = 9 எனில் 18² – 9²  = 3⁵

[a(a² – b²)²]² – [b(a² – b²)²]²  = (a² – b²)⁵; a=3 , b = 2 எனில் 75² – 50²  = 5⁵

n மடியாகக் காட்டும் சில பொதுத் தொடர்புகள்

a² - b²  = c^n-2 எனில்   (ac)² - (bc)² = cⁿ

p² ± q² = r² எனில் (r^(n-1)/2 p)² ± (r ^(n-1)/2q)²  = rⁿ

 x + y = n எனில் [(a^x + a^y)/2}²  - [(a^x -  a^y)/2}²  = aⁿ

 இ த்தொடர்புகளை உற்று நோக்கும் போது இருமடியை ஓர் உறுப்பாய்க் கொண்ட  ₂^mRⁿ₁    வகைத்  தொடர்புகள்  விதி விலக்காய்    சில தனிச் சிறப்புக்களைக் கொண்டுள்ளது தெரியவருகின்றது  . (1) முதலாவது இது போன்ற தொடர்புகள்  பொதுக்காரணியுடனும் அல்லது பொதுக்காரணியின்றியும் இருக்கலாம் . இருமடியில்லாத பீல் தொடர்புகள் போல பொதுக்காரணியுடன்  இருக்கவேண்டும் என்ற அவசியமில்லை.   

₂ⁿRⁿ₁ வகைத்தொடர்புகளில் ஓர் இருமடி ஓர்  உறுப்பாய் இடம் பெற்றிருந்தால் அத் தொடர்புகள்  பொதுக்காரணியில்லாமலும் அமையலாம். பொதுக் காரணியின்றி ஓர்  இருமடியுடன் கூடிய  தொடர்புகளுக்கான சில எடுத்துக்காட்டுகள் :-

                                 13² + 7³ = 8³                          1³  + 2³ = 3²

                                                10²  + 3⁵ = 7³                                  6³  + 5⁴ = 29²

இது போன்ற எண் தொடர்புகளை அல்ஜீப்ரா மூலம் இனமறியலாம் .  a² = c³ – b³ = (c-b)(c² + cb + b²) என்ற பொதுத் தொடர்பில்  c – b = 1 எனக் கொண்டு c -ன் மதிப்பை மற்றொரு தொடர்பில் பதிலீடு செய்ய  3b²+ 3b + 1 – a²    என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறலாம் . இதைத் தீர்வு செய்து b = (-1/2) ± (1/6) √ [12 a² -3]       என்ற மதிப்பைப் பெறலாம் . வர்க்க மூலம் ஓர் இருமடியாக இருக்கவேண்டும் என்ற நிபத்தனை 12a² = 4,7,12,19.... (n² + 3)    போன்ற மதிப்புள்ளனவாக இருக்க வேண்டும் என்று தெரிவிக்கின்றது. இது n = (3+6x)   என்ற மதிப்புகளுக்கு a² = (3m²+ 3m + 1)   என்ற மதிப்புள்ளதாக இருக்கவேண்டும் எனத் தெரிவிக்கின்றது. n =7 என்ற நிலையில்  3m² + 3m + 1    ஓர் இருமடியாக a = 13  என்ற மதிப்பையும்  b = 8 அல்லது 7 என்ற மதிப்பையும்  தருகின்றது.

a³ + b³ = c² என்ற பொதுத் தொடர்பிற்கு  பொதுக்காரணியற்ற எண் தொடர்பையும் இதன் மூலம்  அறியலாம், a³ + b³ = (a+b) ( a² – ab – b²) = c² என்ற பொதுத் தொடர்பில்  a–

b = β எனக் கொண்டு a -ன் மதிப்பை மற்றொரு தொடர்பில் பதிலீடு செய்து  3b²- 3bβ + β² – c²/β = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெற்று தீர்வு  செய்தால் b = (β/2)± (β/6)√ [(12c² / β³) – 3] என்ற மதிப்பைப் பெறலாம் . வர்க்க மூலம் ஓர் இருமடியாக இருக்கவேண்டும் என்ற நிபத்தனையைக்கொண்டு  எண் தொடர்புகளைப் படைக்கலாம்.  3c² =  β³ எனில்  β = c = 3 , b = 1 அல்லது 2, இம் மதிப்புக்கள்   [(1.2)³ = 3²]  என்ற பொதுக்காரணியற்ற எண் தொடர்பைத் தருகின்றது.  பிற மதிப்புகளுக்கு பொதுக்காரணியுட =ன் கூடிய தொடர்புகளையே தருகின்றது. எடுத்துக்காட்டாக 12 c² = 7 β³ என்ற மதிப்பு  [(14,70)³ = 588²]  என்ற தொடர்பையும்  12 c²  = 19 β³ என்ற மதிப்பு  266³ = 38³ + 4332²  என்ற தொடர்பையும் தருகின்றன,

ஒட்றை மாறியால் இரு இருமடிகளுடன் கூடிய பொதுக்காரணியற்ற பீல் தொடர்பிற்கான ஒரு பொதுத் தொடர்பு (2n³ – 1)² + (2n)³  = ( 2n³ + 1)²

   n = 1 எனில்    1² + 2³ = 3²

   n = 2 எனில்   15²  + 4³  = 17²

 n = 3 எனில்  53² + 6³  = 55²

இரட்டை மாறிகளால் இவ்வகைத் தொடர்பிற்கான மற்றொரு பொதுத் தொடர்பு –       ( a³ – 3ab²)² + (3a²b – b³)² = (a²+ b²)³. a = 4, b = 1 எனில்  [(52,47)² = 17³], a = 5 , b = 2  எனில்  [(65,142)² = 29³],போன்ற எண் தொடர்புகளைப் பெறலாம், a,b இவற்றில் ஒன்று இரட்டையாகவும் மற்றொன்று ஒட்றையாகவும் இருக்கும் போது பொதுக்காரணியற்ற தொடர்புகள் அமைகின்றன.

இரு இருமடிகளுடன் கூடிய பொதுக்காரணியற்ற பீல் தொடர்புகளை ஏற்படுத்துவதற்கு மற்றொரு எளிய வழிமுறையுள்ளது. aⁿ = c² = b²  = (c-b) (c+b)  (c-b) = 1 என்றும் (c+b) = aⁿ  என்றும் கொண்டால்  aⁿ + [(aⁿ – 1)/2]² = [(aⁿ + 1)/2]² என்ற தொடர்பை நிறுவமுடிகின்றது

                              

                                            a =3 , n = 3 எனில்  3³ + 13² = 14²

                                                                   a = 3 , n = 4 எனில் 3⁴ + 40² = 41²

                                                                   a = 3 , n = 5 எனில் 3⁵ + 121² = 122²

                                                                   a = 3 . n =  6 எனில் 3⁶ + 364² = 365²

                                            a= 5 , n = 3 எனில் 5³ + 62²  = 63²

                                                                   a = 7 , n = 3 எனில் 7³ + 171² = 172²

பகுப்பை மாற்றிக்கொண்டு இதைத் தொடர (c-b) = k என்றும் (c+b) = aⁿ / k  என்றும் கொள்வோம். . இப் பிரிவினை aⁿ + [(aⁿ –  k²)/2k]² = [(aⁿ +k²)/2k]²   என்ற பொதுத் தொடர்பைத் தருகின்றது . a= 2. எனில் 3² + 2⁴ = 5² என்ற எண் தொடர்பு கிடைக்கின்றது . இது பிதகோரஸ் மூவெண்களுள் மிகச் சிறிய எண்களாகும் . பிதகோரஸ் மூவெண்களில் மடிமூல  எண்களே மடிகளாக இருந்தால் இது போன்ற தொடர்புகளை ஏற்படுத்திக் கொள்ள முடியும். எ. கா.  7² + 24² = 25² = 5⁴  ; 117² + 44² = 125² = 5⁶ ;  6⁴ + 77² = 85² 

-

 (2) இரண்டாவதாக  ஓரெண்ணின் எம்மடியையும் இரு இருமடிகளின் கூடுதலாய் அல்லது வேறுபாடாய்க்  காட்ட முடியும், aⁿ = c² – b² ,( n = 2,3,4,5.....). அது போல ஓரெண்ணின் எம்மடியையும் இரு மும்மடி மற்றும் உயர்  மடிகளின் கூடுதல் அல்லது வேறுபாடாய் காட்ட முடியும் என்றாலும் அதே மடி அல்லது அதன் மடங்கில் இருக்கும் மடிகளின் கூடுதல் அல்லது வேறுபாடாய் காட்ட முடியாது. aⁿ ≠ c^kn  - b^kn  ( n ==3,4,5,...; k =1,2,3,4----)

n = 3 எனில்    2³ = 8 = 3² – 1² ; 3+ 1 = 4= 2² ; 3-1 = 2

                           3³ = 27 = 6² – 3²; 6 + 3 = 9 = 3²; 6 – 3 = 3

                          4³  = 64 = 10² – 6²; 10+6 = 16 = 4²; 10-6 = 4

இருமடி மூல எண்களின் கூட்டுத் தொகையும் வேறுபாடும்  மும்மடி  மூல எண்களின்  இரு தாழ்ந்த மடிகளாக இருக்கின்றன .அதாவது அவற்றின் பெருக்கல் பலன் மும்மடி எண்ணைத் தரக்கூடியதாக இருக்கின்றது.  இது தொடர்புகளில் உள்ள இருமடி மூல எண்கள் யாவும் முக்கோண எண்களாக உள்ளன. அதாவது ஓரெண்ணின்  மும்மடி என்பது முக்கோண எண்களின் இயல் தொடரில்  அடுத்தடுத்துள்ள இரு எண்களின் இருமடிகளின் வேறுபாடாக உள்ளது. . இதை அல்ஜீப்ராவினால்   n³   = [n (n+1)/2]²  - [n (n -1)/2]²  என்று நிறுவலாம். இந்நெறிமுறையை பிற மடி எண்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்திக் கொள்ளலாம். aⁿ  = c² – b² = (c-b) (c+b). முழு எண்களாலான தீர்வுகளை மட்டும் கருத்திற் கொண்டல் c- b = a^m ; c+b = a^n-m  இதில் n > m.  இவ்விரு தொடர்புகளையும் தீர்வு செய்து  மடி மூல எண்ணின் மதிப்புக்களை ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்டு தீர்மானித்து  aⁿ = [(a^n-m + a^m )/2]² - [(a^n-m -  a^m )/2]² என்ற பொதுத் தொடர்பையும் பெறமுடிகிறது.

n = 3 எனில்             2³  = 2² + 2²                                 8³ = 4⁴ + 4⁴

                                                     4³  = 2⁵ + 2⁵                                                32³ = 4⁷ + 4⁷

                                                     8³  = 2⁸  + 2⁸                                           128³ = 4¹⁰ + 4¹⁰

                                                  16³ =  2¹¹ + 2¹¹                                        512³ = 4¹³ + 4¹³

                                                (2ⁿ)³ = 2^3n-1 + 2^3n-1                      (2³ 4 ^n-1)³ = 4^{3n +1} + 4³ⁿ⁺¹ 

மூன்று அல்லது மூன்றின் மடங்கில் இருக்கும் மடியெண்ணுடன்கூடிய இரு ஒத்த மடிகளின் கூடுதலாகக் காட்ட முடிவதில்லை. அது போல ஓரெண்ணின் நான்கு மடியை இரு சில ஒத்த மடிகளின் கூடுதலாகக் காட்டமுடியும்

                                    2⁴   =   2³  +  2³                 16⁴   = 8⁵    +  8⁵

                                    4⁴  =    2⁷   +  2⁷               128⁴ =   8⁹   +  8⁹ 

                                    8⁴   = 2¹¹   +  2¹¹            1024⁴  =  8¹³  +  8¹³

                                 (2n)⁴ =  2^4n-1 +  2^4n-1      (2³ⁿ⁺¹)⁴  =  8⁴ⁿ⁺¹ +  8⁴ⁿ⁺¹          

நான்கு மடிகளை (4n+1) , (4n-1) என்ற மடியெண்ணுடன் கூடிய  இரு ஒத்த மடி மூல  எண்களின் கூடுதலாய்க் காட்ட முடியும். 2,4,6,8,10... போன்ற இரட்டை  மடியெண்ணுடன் கூடிய இரு ஒத்த மடி மூல எண்களின் கூடுதலாய்க் காட்ட

முடிவதில்லை. (ஏனெனில் மூன்று மடி மூலங்களும் மடிகளாக இருக்க முடியாது ) இது பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்தை நிரூபிக்கின்றது.

(3).2a² = c²

 இரு வேறு  இருமடிகளின் கூட்டுத் தொகையை எம்மடியின் மடி மூலமாகவும் காட்ட முடியும். a² + b² = cⁿ . ( n = 1,2,3,4,5.......) ஆனால் ஒரே இரு இருமடிகளின் கூட்டுத் தொகையை இரட்டை மடிகளின் மடி மூல எண்களாகக் காட்ட முடிவதில்லை  என்றாலும் ஒற்றை மடிகளின் மடி மூல எண்களாகக் காட்ட முடியும். 2a² ≠  c², c⁴, c⁶....... c^2n, என்றாலும்  2a² = c³, c⁵ , ......c²ⁿ⁺¹ என்ற வகைக்கான  எண் தொடர்புகளை ஏற்படுத்த முடியும் .

a² + a² = c²  à 2a² = c², c = √2 a என்பதால் இத் தொடர்பை முழு எண்களால் நிறைவு செய்ய முடியாது. a யைச் சார்ந்த ஒரு எண்ணாகத்தான் c இருக்க முடியும் என்பதால்   c = xa என்று முழு எண்ணாக எடுத்துக் கொண்டால்  x²= 2 என்ற நிபந்தனையால் முழு எண்களாலான எண் தொடர்பைத் தருவதில்லை. ஒரு சமன்  தொடர்பும், சமன் தொடர்பின் பகுதி பகுப்புக் கூறும் (partial differential) சமமாக இருக்க வேண்டும் என்ற சமன் தொடர்புகளுக்குரிய இலக்கணம் இந்த நிபந்தனையைத் தருகின்றது . c  ன் மதிப்பு a யின் சார்பின்றி இருந்தால், பகுதி பகுப்புக் கூறு  தொடர்பின் ஒரு பக்கம் சுழியாகி விடுகின்றது என்பதால் c ன் மதிப்பு a யின் சார்பின்றி அமையாது எனலாம்

a² + a² = 2a² = c². இது முழு எண்களால் சாத்தியப்படாத தொடர்பாக இருக்கின்றது.  மறு பக்கமுள்ள 2 ஐ ஈடுகட்ட  c  இரட்டையாக மட்டுமே இருக்கமுடியும். a  ஒற்றையாக இருந்தால் c²  ன் ஈரலகு இரட்டைத் தன்மையை 2a² ன் ஓரலகு இரட்டைத் தன்மையால்  ஈடு செய்ய முடியாததால் a யும் இரட்டையாகவே இருக்க வேண்டியது கட்டாயமாகிறது .a = 2^m xⁿ எனில்  2a²  = 2^2m+1x²ⁿ, 2^{2m +1} ஐ இருமடியாகக் காட்டமுடியாததால்  m ன் எம்மதிப்பிற்கும் 2^2m+1x²ⁿ ஐ  ஒரு இருமடியாக அல்லது 4,6,8,....என்ற இரட்டை மடியெண்களின் மடிகளில் காட்டமுடிவதில்லை. எனினும்  கூட்டுத் தொகையை ஒட்றை மடியெண்களின் மடிகளில் காட்டமுடியும்.

m = 1 , n = 3 ;    2^2m+1x²ⁿ  = (2x²)³

m=2, n=5 ; 2^2m+1x²ⁿ  =  (2x²)⁵

m = 3 , n = 7 ; 2^2m+1x²ⁿ = (2x²)⁷

m = p , n = 2p+1 ; 2^2m+1x²ⁿ = (2x²)^2p+1

இதே உண்மையை  2a² = c²ⁿ = (cⁿ)²  என்ற தொடர்பில் 2 என்ற  இருமடியல்லாத ஓர் எண்ணை  இருமடி மூல எண்ணோடு முழு எண்ணாக இணைக்க  முடியாது என்பதைக் கொண்டும் நிறுவலாம்   2a² = c²ⁿ ஆகக் காட்ட  முடிவதில்லை என்றாலும்  கூட்டுத் தொகையை ஒட்றை மடியெண்களின் மடிகளில் காட்டமுடியும்.

நிபந்தனைத் தொடர்பை ஏற்படுத்திக் கொண்டும் இதை நிறுவலாம் .a² + a² =  2a² = cⁿ ; p² + p² = 2p² = a^n-2 rⁿ என்ற நிபந்தனைக்குட்பட்ட மதிப்புக்கள் எண் தொடர்புகளைத் தருகின்றன. n = 2.4.,6...2m எனில் இந்த நிபந்தனைக்கு முழு எண்களாலான தீர்வுகள்

இல்லை. n = 3 எனில் 2p² = a r³ இதை p=2, a=1 , r=2 என்ற மதிப்புக்களும், n = 5 எனில்  p=4,a=1,r =2 என்ற மதிப்புக்களும்,n =7 எனில்  p=8,a=1,r =2 என்ற மதிப்புக்களும் முழு எண்களாலான எண் தொடர்புகளைத் தருகின்றன.n = (2m+1) என ஓட்றை மடி எண்களுக்கு மட்டும் 2a² = cⁿ முழு எண்களாலான தீர்வுகளை ப்  பெற்றிருக்கின்றன. 2 [(ar)^m]² = (ar)^2m+1

கூட்டுத் தொகையின் மடி மூலம் , கூட்டப்படும் மடியெண்ணின் மடி மூலத்தோடு தொடர்புடையது என்பதைக் கொண்டும் நிறுவலாம்  2a² = cⁿ = (xa)ⁿ  எனில் 2 = xⁿ a^n-2. a ≥ 2 என்பதால் , n =3 , a = 2, x = 1  à  2² + 2² = 2³; n = 3 , x=1/2 , a = 16 -->16² + 16² = 8³ ;  n = 5,  a = 4 , x=         1/2 à 4² + 4² = 2⁵;  n=7 , a=8 , x = 1/4 à 8² + 8² = 2⁷  ;  n = 7 , a =16  , x = 1/8 à 16² + 16² = 2⁹

 மூன்று மடி எண்களுக்கும் 2 மற்றும் அதன் மடிகள் பொதுவான பெருக்கிகள்  என்பதால் அப் பெருக்கிகளால் பெருக்கியும் உயர் மடிகளிலான  எண் தொடர்புகளைப் பெறலாம் . 2² + 2² = 2³ à 4² + 4² = 2⁵ à 8² + 8² = 2⁷ à 16² + 16² = 2⁹  இதன் பொதுத் தொடர்பு  (2ⁿ)² + (2ⁿ)² = 2²ⁿ⁺¹ .  மடியெண் மாற்றமின்றி அதே மடிகளுடன் கூடிய எண் தொடர்புகளை  2 ன்  ஒரு குறிப்பிட்ட மடியால் மட்டுமே பெறமுடியும். எடுத்துக்காட்டாக   [2² + 2² = 2³] x 4³ à 16² + 16² =  8³  = 2⁹ .  [2² + 2² = 2³] X 16³ à 128² + 128²  = 32³ = 8⁵ . இதை n = 3,a = 128, x = 1/16  என்ற மதிப்பிட்டும் பெறலாம்.

a² + a² = c² என்ற தொடர்பில் a.c இரண்டும் இருமடி எண்ணாக இருப்பதில்லை என்ற உண்மையையும் இதைக் கொண்டே  மெய்ப்பிக்கலாம்.   a = 2^2m x²ⁿ   என ஒரு இருமடியெண்ணாக எடுத்துக்கொண்டால் c²= 2a² = 2^4m+1x⁴ⁿ, c   ஒருபோதும் ஒரு இருமடியெண்ணாக அமைவதில்லை. அதாவது ₂ⁿRⁿ₁ வகை எண் தொடர்புகளில் உள்ள மூவெண்களும்  ஒரே மடியுடன் கூடிய மடியெண்களாக  இருப்பதில்லை.

(4).2a² = c³

2a² = c² என்ற தொடர்பை முழு எண்களால் நிறுவ முடியாவிட்டாலும்  2a² = c³ என்ற பொதுத் தொடர்பிற்கான எண் தொடர்புகளை  அமைக்க முடியும். 2a²= c³ என்ற பொதுத் தொடர்பிற்கு, (2a³)² + (2a³)² = (2a²)³ ஒரு குடும்பத் தொடர்பாகும். 2x² = a² + b² என்ற தொடர்பிற்கு உட்பட்ட எண் மதிப்புக்களைக் கொண்டு [x (a²+ b²)]² + [x (a²+ b²)]² = (a²+ b²)³ என்ற  குடும்பத் தொடர்பைப் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டாக 1² + 7²  = 2 x 5^2;; இது  250²  + 250² = 50³  என்ற எண் தொடர்பைத் தருகின்றது. (2n² + 4n+ 1)² + (2n² – 1)² = 2 [2n(n+1) + 1]² என்ற பொதுத் தொடர்பைக் கொண்டு [2 (2n² + 2n + 1)³]² + [2 (2n² + 2n + 1)³]²  = [2 (2n² + 2n + 1)²]³ என்ற பொதுத் தொடர்பைப் பெறலாம்.

(5).a³ + b³ = c²

அடுத்து இரண்டு ஒத்த மும்மடிகளின் கூடுதலை ஒரு இருமடியாகக் காட்டும் a³ + b³ = c² என்ற  தொடர்பை எடுத்துக் கொள்வோம்.  a யும் b யும்  சமமாக இருக்கும் போது  இரண்டு  ஒத்த மும்மமடிகளின் கூடுதலை ஒரு இருமடியாகக் காட்ட முடியும்.  (2n²)³  + (2n²)³ = (4n³)²  ஒரு  பொதுத் தொடர்பாகும். இது aⁿ + bⁿ  = c^n-1  என்ற வகைக்குள்

அடங்கிய ஒன்றாகும். ₂ⁿR^n-1₁ க்கான பொது வடிவம்  [2^n-2 a^n-1]ⁿ + [2^n-2 a^n-1]ⁿ  = [2^n-1aⁿ]^n-,1. இரண்டு  ஒத்த மும்மமடிகளின் கூடுதலை ஒரு நான்கு மடியில் குறிப்பிடமுடியும் .அதற்கான பொது வடிவம் (2a⁴)³ + (2a⁴)³ = (2a³)⁴. இது aⁿ + bⁿ  = cⁿ⁺¹  என்ற வகைக்குள் அடங்கிய ஒன்றாகும். ₂R^n,n+1₁ க்கான பொது வடிவம்  [2 aⁿ⁺¹]ⁿ + [2 aⁿ⁺¹]ⁿ  = [2aⁿ]^n-+1. இரண்டு  ஒத்த மும்மமடிகளின் கூடுதலை 2,4,5,7,8,10,11.... என்ற மடிகளில் மட்டுமே காட்ட முடியும்.   3 மற்றும் 3 ன் மடங்கிலுள்ள மடிகளில்  காட்ட முடியாது.

                 (2³ a⁵)³ + (2³ a⁵)³ = (2² a³)⁵                            (2² a⁷)³ + (2² a⁷)³ = (2a³)⁷.

                (2⁵ a⁸)³ + (2⁵ a⁸)³ = (2² a³)⁸                        (2³ a¹⁰)³ + (2³ a¹⁰)³ = (2a³)¹⁰.         

.           ...................................................                     ................................................

     (2 ²ⁿ⁺¹ a^{3n +2})³ + (2²ⁿ⁺¹ a³ⁿ⁺²)³ = (2² a³)³ⁿ⁺²              (2ⁿ a ³ⁿ⁺¹)³ + (2ⁿ a³ⁿ⁺¹)³ = (2a³)³ⁿ⁺¹.   

a³ + a³ = c⁶ என்று கொள்வோம். இதற்கு  2(2ⁿa^2m)³ = 2³ⁿ⁺¹a^{6 m}  =(2^k a^m)⁶. இது  6k = 3n+ 1  என்ற நிபந்தனையைத் தருகின்றது . ஒட்றை- இரட்டை சமனின்மையால் k, n ன் எந்த மதிப்பும் இதை நிறைவு செய்வதில்லை . இது  a³ + a³ ≠ c³ⁿ , n = 1,2,3,4,---- என்பதை தெள்ளத் தெளிவாக நிறுவுகிறது

இது போல இரண்டு ஒத்த நான்கு மடிகளின் கூடுதலைக் கொண்டும் நிறுவலாம்,

[2^2k-1/n a^m]ⁿ  + [2^2k-1/n a^m]ⁿ = ( 2^kxⁿ)^m  என்ற பொதுத் தொடர்பைக்கொண்டு  

n=4, m=2,4,6... 2p எனில்      2 (2^2k-1/4  a^2p)⁴    = (2^k a^4p)^{2 .}  k ன் எம்மதிப்பிற்கும்   2^2k-1/4 ஐ முழு எண்ணாகக் காட்ட முடிவதில்லை  என்பதால்  முழு எண்களால் சாத்தியப்படாத தொடர்பாக இருக்கின்றது. ஆனால் 2 மற்றும் 2 ன் மடங்கில் இல்லாத  மடிகளில் தொடர்புகளை ஏற்படுத்த முடியும்.

(2²a³)⁴  + (2²a³)⁴  = (2³a⁴)³                                       (2a⁵)⁴  + (2a⁵)⁴  = (2a⁴)⁵

(2⁵a⁷)⁴  + (2⁵a⁷)⁴  = (2³a⁴)⁷                                                         (2²a⁹)⁴  + (2²a⁹)⁴  = (2a⁴)⁹

(2⁸ a¹¹)⁴  + (2⁸ a¹¹)⁴  = (2³ a⁴)¹¹                                             (2³a¹³)⁴  + (2³a¹³)⁴  = (2a⁴)¹³

^{..........................................................................                                             .                                     .........................................................................}

(2^{3n -1} a^4n-1)⁴  + (2^{3n -1} a^4n-1)⁴   = (2³a⁴)^4n-1            (2ⁿ a⁴ⁿ⁺¹)⁴ + (2ⁿ a⁴ⁿ⁺¹)⁴ = (2x⁴)⁴ⁿ⁺¹

  n=5, m=5,10,15---5p எனில்  2 (2^2k-1/5  a^5p)⁵    = (2^k a^5p)^{5 .}  k ன் எம்மதிப்பிற்கும்   2^2k-1/5 ஐ முழு எண்ணாகக் காட்ட முடிவதில்லை  என்பதால்  முழு எண்களால் சாத்தியப்படாத தொடர்பாக அமைகின்றது. (2ⁿ a)⁵    +  (2ⁿ a)⁵  = (2^ma)⁵ எனில் 2^{5n +1}  = 2^5m m,n ன் எம்மதிப்பிற்கும் இதை சமப்படுத்தயியலாது என்பதால் இது தவிர்க்கப்படும்

-49-

தொடர்பாயிருக்கின்றது ஆனால் 5 மற்றும் 5 ன் மடங்கில் இல்லாத  மடிகளில் தொடர்புகளை ஏற்படுத்த முடியும் . அதற்கான பொதுத் தொடர்புகள்  பின்வருமாறு

(2ⁿ a⁵ⁿ⁺¹)⁵    +  (2ⁿ a⁵ⁿ⁺¹)⁵  = (2 a ⁵)⁵ⁿ⁺¹  

(2³ⁿ⁺¹  a⁵ⁿ⁺² )⁵ +  (2³ⁿ⁺¹a⁵ⁿ⁺² )⁵  = (2³a⁵)⁵ⁿ⁺²

(2²ⁿ⁺¹  a⁵ⁿ⁺³ )⁵ +  (2²ⁿ⁺¹a⁵ⁿ⁺³ )⁵  = (2²a⁵)⁵ⁿ⁺³

(2⁴ⁿ⁺³  a⁵ⁿ⁺⁴ )⁵ +  (2⁴ⁿ⁺³  a⁵ⁿ⁺⁴ )⁵  = (2⁴a⁵)⁵ⁿ⁺⁴

இந்த விளக்கம்  n  ன் உயர்மாடிகளுக்கும் பொருந்தும்.

மூன்று அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட மடியில் இரண்டு  ஒத்த மடிகளின் கூடுதலை   அதே மடியில் குறிப்பிட முடியாமை  பெர்மாட்  இறுதித் தேற்றத்தை நிரூபிக்கின்றது .

ஒத்த மடியெண்ணுடன் கூடிய இரு மடிகளின் கூட்டுத் தொகையை இரு வேறு இருமடிகளின் வேறுபாடாகக் காட்டலாம். aⁿ + aⁿ =  c² – b² என்ற தொடர்புக்கான சில எடுத்துக்காட்டுகள்

(2a)² + (2a)² = [2a(2^-1a⁰+1)]² - [2a(2^-1a⁰-1)]² ;  (2a)²= (a² +1)² – (a² – 1)²                   

(2a)³ + (2a)³ = [2a(a+1)]² - [2a(a-1)]²;  (2a)³  = (2a³+ 1)² – (2a³ – 1)²

(2a)⁴ + (2a)⁴ = [2a(2a²+1)]² - [2a(2a²-1)]²;  (2a)⁴= (4a⁴ + 1)² – (4a⁴ – 1)²

(2a)⁵  + (2a)⁵ = [2a(2²a³+1)]²  -  [2a(2²a³-1)]²; (2a)⁵= (8a⁵ + 1)² – (8a⁵ – 1)²

(2a)⁶  + (2a)⁶ = [2a(2³a⁴ +1)]²  - [2a(2³a⁴ -1)]² ; (2a)⁶  = (16a⁶ + 1)² – (16a⁶ – 1)²

பொதுவாக  இதை (2a)ⁿ + (2a)ⁿ = [2a(2^n-3a^n-2+1)]² - [2a(2^n-3a^n-2-1)]²; (2a)ⁿ = (2^n-2aⁿ + 1)² - (2^n-2aⁿ - 1)² என்ற தொடர்பால் குறிப்பிடலாம். இந்த இருமடிகளின் வேறுபாடு 2ⁿ⁺¹ aⁿ என்றிருப்பதால்  அதை n மடியின் மடி மூலமாகக் காட்ட முடிவதில்லை. அதாவது ஒரே மடி மூல எண்ணாலும் ஒரே மடியெண்ணாலும் ஆன இரு  மடிகளின் கூட்டுத் தொகையை இரு வேறு இருமடிகளின் வேறுபாடாகக் காட்ட முடிந்தாலும் அதை முழு எண்ணாலான மடி மூல எண்ணுடன் அதே மடியெண்ணுடன் குறிப்பிட முடிவதில்லை.  வேறுபாட்டிலுள்ள  இருவேறு இருமடிகளின் மடி மூலத்தின்  கூறுகள் அடுத்தடுத்த மடிகளில் இருப்பதால் , அவற்றை ஒரே மடியினால் குறிப்பிட முடிவதில்லை என்ற காரணம்  பெர்மாட்  இறுதித் தேற்றத்தை நிருபிக்கின்றது.