பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம்-5

நிரூபணம் -4

மும்மடி எண் தொடர்புகளின் பொதுப் பண்பும்  தீர்வும்.

மும்மடி எண்கள் சில குறிப்பிட்ட பொதுப் பண்புகளைப் பெற்றுள்ளன. ஓரெண்ணின்  மும்மடிக்கும் (x³)  மடி மூல எண்ணிற்கும் (x) உள்ள வேறுபாடு x³ – x = x ( x²  - 1)  = (x-1)x(x+1). இது இயலெண்  தொடரில்  அடுத்தடுத்துள்ள மூன்றெண்களின் பெருக்கல் என்பதால் அதற்கு 6  ஒரு பொதுக்காரணியாக இருக்கின்றது. இப்பண்பு x ன் எம்மதிப்பிற்கும்  (x-1)x (x +1) = 6n ஆக இருக்கும்  என்று தெரிவிக்கின்றது. எனவே மும்மடி எண்களை  x³ = 6n_x  + x  என்ற தொட ர்பால் குறிப்பிடலாம். மும்மடி எண்களின் இப் பண்பை  ₃³R³₁  வகைச் சமன்பாடுகளில் பயன்படுத்தி பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்திற்கு அவை    உட்பட்டிருப்பதை உறுதி செய்யலாம்.

இரண்டு மும்மடிகளின் கூட்டுத் தொகையை ஒரு மும்மடியாகக் காட்ட முடியாவிட்டாலும் , இரண்டு , மூன்று , நான்கு என உயர் எண்ணிக்கையிலான மும்மடிகளின் கூட்டுத் தொகையாகக் காட்ட முடியும் .  ₂ⁿR³₁ வகை  எண் தொடர்புகளுக்கான சில எடுத்துக் காட்டுகள்.

 ₃³R³₁  - [3,4,5=6]³, [1,6,8=9]^3, [4,17,22=25]³, [38,43,66=75]³

₄³R³₁  - [11.12.13.14.=20]³, [9,13,19,23=28]³

₅³R³₁  - [3,4,6,8,8 = 11]³, [4,4,5,6,12,=13]³,^, [2,4,5,10,10= 17]³

₆³R³₁  - [1,3,3,15,21,21= 28]³, [31,33,35,37,39,41=66]³.

a³  + b³  + c³  = d³  என்ற பொதுத் தொடர்பில்  d  ன் மதிப்பு   a,b,c ன் மதிப்புக்களை விட அதிகமாக இருக்கும் என்றாலும் அவற்றின் கூட்டுத் தொகையை விடக்  குறைவாக இருக்கும்

                                                             d > a,b,c  ; d < a+b+c

எனவே  d = a +p = b + q = c+r  என்று கொள்ளலாம் . d = c + r  என்று வைத்துக்கொண்டு அதை பொதுச் சமன்பாட்டில் பதிலீடு செய்ய ,

          

                 a³  + b³  + c³  = d³

                      6(n_a + n_b + n_c) + (a+b+c) = 6n_d  + d = c+r

                a+b = 6(n_d – n_a – n_b – n_c) + r  =  6n + r

                a³  + b³  =(a+b)³  - 3ab (a+b) = (6n+r)³  - 3ab(6n+r)

மேலும்

                a³  + b³  + c³  = d³  = (c+r)³

                     a³  + b³  = r³ + 3cr(c+r)

இரு சமன்பாடுகளையும் ஒப்பிட,

               3c²r + 3cr² + r³  -  (6n+r)³  + 3ab(6n+r) = 0

இருபடிச் சமன்பாட்டை தீர்வு செய்து c  ன் மதிப்பை அறியலாம் . இது r , n , (a + b )  இவற்றின் மதிப்புக்களைச் சார்ந்திருக்கிறது.

c =- (r/2) ± (1/2r) [ r⁴ + 288n³  r +144 n²  r² + 24 n r³  - 4abr (6n+r) ]^1/2

              r            n          a+b           a³  + b³  + c³  = d³

             1             1            7                  [1,6,8=9]³

             1             2          13                  [3.10,18 = 19]³

                 1             3           19                 [2,17,40 =41]³

                   1             4           25                தொடர்பு இல்லை 

             1             5           31                 [12,19,53=54]³

             1             6           37                 [14,23,70 = 71]³

                 1             7           43                 [12,31,102=103]³

             1             8           49                தொடர்பு இல்லை

              1               9            55                   தொடர்பு இல்லை

இந்த வழிமுறை a³  + b³  + c³  = (c+r)³  என்ற பொதுத் தொடர்புக்கு முழு எண்களாலான தீர்வுகளைப் பெறப் பயனுள்ளதாக இருக்கின்றது. வேறு சில எடுத்துக்காட்டுகள்

[1,6,8=9]³, [2,17,40 = 41]³ , [3,10,18=19]³, [4,57,248 =249]³ ,[5,86,460 =461]³ , [6,121,768 = 769]³,

[7,162,1190=1191]³, [8,209,1744 =1745]³ , [9,262,2448= 2449]³, [10,321,3320 = 3321]³

a  யின் எல்லா முழு எண் மதிப்புகளுக்கும்  ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட       ₃³R³₁   தொடர்பை ஏற்படுத்த முடியும்.இது போன்ற எண்  தொடர்புகளை

a³ + [6T_a  - (a-1)]³  + [ 8a + 3a(a² + a – 2) ]³  = [ 8a + 1 + 3a(a² + a – 2) ]³

என்ற பொதுத் தொடர்பால் பெறமுடியும். மேலும்  ஒரு குறிப்பிட்ட a யின் மதிப்பிற்கு ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட  எண் தொடர்புகளை நிறுவலாம். எடுத்துக்காட்டாக  (a=3) ,(a=7) என்றிருக்கும் போது

[3,4,5=6]³ ,[3,10,18=19]³ ,[3,18,24 =27]³,  [3,36,37=46]³ , [3,34,114=115]³

[7,14,17=20]³ , [7,317,525=561³, [7,162,1190 = 1191]³

போன்ற எண் தொடர்புகளைப் பெறலாம். இதில் T_n என்பது  இயல் வரிசையில் n வது முக்கோண எண்ணாகும்( Triangular number).   ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில்  புள்ளிகளை  வரிசையாக அடுக்கி முக்கோண  வடிவத்தை கட்டமைக்க முடியும் .  முக்கோண வடிவில் காட்டக் கூடிய எண்ணிக்கைகளை முக்கோண எண்கள் என்பார்கள் . 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,..... என்ற தொடர்    முக்கோண எண்களின் இயல் வரிசையாகும். ஒரு முக்கோண எண்ணின் வரிசை எண் n என்றால் அதன் மதிப்பு இயற்கை எண்களின் இயல் வரிசைத் தொடரில் n வரையுள்ள எண்களின் கூட்டுத் தொகையாகும். எனவே n  வது முக்கோண எண்ணை  [n(n+1)] /2 என்ற தொடர்பால் குறிப்பிடலாம்.

₃³R³₁   வகை சார்ந்த எண் தொடர்புகளை உருவாக்கும் அல்ஜீப்ரா முறை

₂³R³₂ தொடர்பை உருவாக்கி அதில் ஏதாவதொரு உறுப்பு எதிர் குறியுடையதாக  இருக்குமாறு செய்துகொண்டால்  ₂ ³R³₁   வகைத் தொடர்புகளைப் பெறலாம் .

                                              (x-a)³  + (x+a)³ = (x-a+7n)³  + ( x + a - n)³

இதை விரித்து சுருக்க

                          3nx²  - nx(8a-25n) + 3na² – 24an² + 57n³  = 0

தீர்வு செய்து x-ன்  மதிப்பை

                           x = [(8a – 25n) ± S ]/ 6 ; S² = 28a² – 112an – 59n²     

28a² – 112an – 59n² – S² = 0 , தீர்வு செய்து  a -ன்  மதிப்பை  a = [28n ± √[ 7(171 n² + S²)] /14

n,S க்கு விருப்பம் போல மதிப்புக்கொடுத்து a, x ன் மதிப்புக்களை அறியலாம்.

n      S         a                               x                                          எண் தொடர்பு

1       2      9/2                    13/6, 3/2                          [20 = 7 + 14 +17]³ ; [6 = 3,4,5}³

                 -1/2                 -27/6, -31/6                      

         9       - 1                    -7, -4                                 [9 =1.6.8]³  :    [6 = 3,4,5}³      

                    5                      4, 1

        23        7                       9,4/3                             [ 2.16=9,15]³ ; [25= 4,17,22]³   

                    3                      -4,11/3

(a-b)³ = a³  - b³ – 3ab(a-b) என்ற சூத்திரத்தின் மூலம் ₃³R³₁  தொடர்புகள்

a - b =  n எனில்  a³ = n³ + b³  + 3abn

 a – b = 1 எனக்கொண்டால்  a³  =  1 + b³  + 3ab

3ab யின் மதிப்பு மும்மடியாக இருக்குமாறு a   ன் மதிப்புக்களைத் தேர்வு செய்துகொண்டால் தேவையான  எண் தொடர்புகளை  உருவாக்கலாம்

a = 9 ; [9=1,6,8]³

இதில் ஒரு  உறுப்பு 1 ஆக இருப்பதால்  3ab = 3a(a-1) வெவ்வேறு a- ன் மதிப்புக்களுக்கு ஒரு மும்மடியாக  இருப்பதில்லை.மும்மடியாக்கி வழிமுறை மூலம் அனைத்து உறுப்புகளையும் மும்மடியாக்கிக் கொள்ள முடியும். மும்மடியாகாத இரு உறுப்புகளில்  ஒரு உறுப்புடன் மும்மடியாக்கும் மதிப்பொன்றைக் கூட்டிஅல்லது கழித்துக் கொள்ள , மற்றொரு உறுப்புடன் அதே மதிப்பைக் கழித்து அல்லது கூட்டிக் கொண்டு அவ்விரு உறுப்புக்களையும் மும்மடியாக்கிக்கொள்ள முடியும்.

a=19 ;    19³  =  1 + 18³   +1026; 1+1+26=27 = 3³; 1026 – 26 = 1000-= 10³;   [19 = 3.10,18]³

a = 41;   41³ = 1 +40³ + 4920 ; 1+7 =8 = 2³ ; 4920 -7 = 4913 = 17³ ;  [2,17,40=41]³

a=115;  115³  = 1 + 114³ + 39330 ; 1+26 = 27 = 3³ ; 39330-26 =39304= 34³ ; [115 =3,34,114]³

a=249;  249³ = 1 + 248³  + 185256 ; 1 + 63 = 64= 4³; 185256-63 =185193 = 57³ [249=4.57.248]³

  

aⁿ + bⁿ + cⁿ  = dⁿ என்ற பொதுத் தொடர்பிற்கான எண் தொடர்புகளை மூலத் தொடர்புகளைக் கொண்டும் பெறமுடியும்.

1 + {(q² -1)/2q]² =  {(q² +1)/2q]² , 1 + {(r² -1)/2r]² =  {(r² +1)/2r]² என்ற இரு மூலத் தொடர்புகளைக் கொண்டு 1 +{(q² -1)/2q]²  + {(q² +1) (r² -1)/4qr]² = {(q² +1) (r² +1)/4qr]²  என்ற விரிந்த மூலத் தொடர்பைப் பெறலாம். இதில்  q,r இரண்டும்  சார்பிலா மாறிகளாக இருப்பதால், அவைகளுக்கு விருப்பம் போல மதிப்புக்களைக் கொடுத்து , மூன்று இருமடிகளின் கூடுதலை ஒரு இருமடியாகக் காட்டும் எண் தொடர்புகளைப் பெறலாம் .

q=2, r =3 à 24² + 18² + 40²  = 50²  à 12² + 9² + 20² = 25²

q = 3, r = 2à  24² + 32²  + 30² = 50² à 12²+ 16² + 15²  = 25²

இதன் மூலம் மும்மடிகளுடனான தொடர்பையும் பெறலாம். [(q² -1)/2q]² =a³ ; {(q² +1) (r² -1)/4qr]² = (1+a³) x ; (1+a³) x =b³ , {(q² +1) (r² +1)/4qr]²  = (1+ a³) (1+ x) = c³. x = b³/(1+a³) என்பதால் 1 + a³ + b³ = c³ என்ற தொடர்பைப் பெறலாம்.

x = 512/217  ; (1 + x) (1+a³) = c³ à [1.6,8=9]³

 x = 125/91 ; [ 3,4,5=6]³

x = 4913/3087 ; [7.14.17=20]³

x = 9261/12691 ; [18.19,21=28]³

₃³R³₁     வகை பொதுச் சமன்பாட்டில் {a³ + [6T_a  - (a-1)]³  + [ 8a + 3a(a² + a – 2) ]³  = [ 8a + 1 + 3a(a² + a – 2) ]³ }  ஏதாவதொரு மூல  எண் சுழியானால்  அது ₂ ³R³₁   வகைக்கான ஒரு பொதுச் சமன்பாடாகும். a  சுழியானால் இச் சமன்பாடு 1³  = 1³ என்று மட்டுமே மாற்றம் பெறுகின்றது.  b சுழியானால் இச் சமன்பாடு 6T_a = (a-1) என்ற நிபந்தனையை ஏற்படுத்துகின்றது . இந்த நிபந்தனை a = 0 , T_a  = 0  என்ற நிலையில் மட்டுமே உண்மையானதாக இருக்கின்றது. c = 0 எனில் , a ஒரு சிக்கல் எண்ணாகி விடுகின்றது. ஒரு உறுப்பைச் சுழியாக்கிவிட்டு ₃³R³₁  தொடர்பை ₂³R³₁  தொடர்பாக மாற்றமுடியாது என்ற உண்மை,  பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்தை உறுதிப்படுத்துவதாக இருக்கின்றது.

 

கணிதவியல் அறிஞர்களால்  ஓட்றை  மாறியால் நிறுவப்பட்ட    தொடர்புகளைக் கொண்டும் இதை உறுதி செய்ய முடியும்.   சான்டாசெக் (J. Jandasek ) ₃³R³₁ வகைத் தொடர்புகளுக்கான ஒரு மாறியுடன் கூடிய  ஒரு பொதுத் தொடர்பைத்  தந்துள்ளார்,  

n³ + (3n²+2n+1)³ + (3n³+3n²+2n)³ = (3n³+3n²+2n+1)³

இதிலுள்ள இரண்டாவது உறுப்பு சுழியானால்  n -ன் மதிப்பு   சிக்கலெண்ணாகிவிடுகின்றது n = [ (-1+ i √2)/3]. இதனால் தொடர்பில் உள்ள அனைத்து உறுப்புக்களுக்கு முழு எண்ணாக இருப்பது தவிர்க்கப்படுகின்றது

ஆம்போனின் (Ampon)  இது போன்ற பொதுத் தொடர்பும் இதே கருத்தை சுட்டிக்காட்டுவதாக  இருக்கின்றது.  

(3n²)³ + (6n²+3n+1)³ + (9n³+6n²+3n)³ = (9n³+6n²+3n+1)³

₃³R³₁ வகைத் தொடர்பிலுள்ள ஏதாவதொரு உறுப்பைச் சுழியாக்கினால் சார்பிலா

மாறி அல்லது மாறிகள் நிபந்தனைக்கு உட்பட்டு பின்ன அல்லது கூறுபடா அல்லது சிக்கலெண்களை மட்டும் ஏற்பதால்   பிற உறுப்புகள்  முழு எண்களாக இருப்பதில்லை. இது முழு எண்களுடன்  ₃³R³₁ வகைத்  தொடர்பை  ₂³R³₁  வகைத்  தொடர்பாக மாறவே முடியாது என்ற உண்மை பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்திற்கு மற்றொரு நிரூபணமாகிறது .

1 + [(k² -1)/2k]}² =[(k² + 1)/2k]² என்ற மூலத் தொடர்பைக் கொண்டு ₃³R³₁ வகைத்  தொடர்பிற்கான  பல சூத்திரங்களை நிறுவமுடியும் . எடுத்துக்காட்டாக இத் தொடர்பை இருமடியாக்கிச் சுருக்கினால் , இருவேறு மூல எண்களின்  நான்கு மடிகளின் வேறுபாடு , இருவேறு  இருமடிகளின் கூடுதலாக இருக்கும் என்பதற்கான ஒரு சூத்திரத்தைப் பெறமுடியும்.

(k² + 1 )⁴ - (k² – 1)⁴ = [2k(k²+ 1)]²  + [2k(k²- 1)]²

மூன்று இருமடிகளின் கூடுதலை ஒரு இருமடியாகக் காட்டும் சூத்திரம்

 [(2k)²]² +[2k(k²- 1)]² + (k⁴ – 1)²  = [(k² + 1)²]²

பிதகோரஸ்  மற்றும் பீல் தொடர்புகளில் மடி மூல எண்கள் மடிகளாக  இருப்பதில்லை என்பதைப்போல  ₃ⁿRⁿ₁   வகைத்  தொடர்புகளிலும்  மடி மூல எண்கள் மடிகளாக இருப்பதில்லை  என்றும் நிரூபிக்கலாம்.

[(k² -1)/2k] = q²  எனில் , [(k² + 1)/2k]² = 1 + q⁴ ; {[(k² + 1)/2k] x [(k² -1)/2k]}² =q⁴ ( 1 + q⁴) இருமடி மூலம்  ஒரு இருமடியாக இருக்க வேண்டுமானால்   1 + q⁴  = r⁴ என்றிருக்க வேண்டும். முழு எண்களால் இத் தொடர்பு சாத்தியமில்லை என்பதால் அனைத்து மடி மூல எண்களும்  மடிகளாக இருப்பதில்லை எனலாம். aⁿ + bⁿ + cⁿ  = dⁿ  என்ற தொடர்பில் 1 + qⁿ = rⁿ         என்ற தொடர்பை முழு எண்களால் நிறைவு செய்ய முடியாததால்  அனைத்து மடி மூல எண்களும் மடி எண்களாக இருப்பதில்லை  என்று கூறலாம்.

அதுபோல  aⁿ + bⁿ + cⁿ  = dⁿ  என்ற தொடர்பில்  அனைத்து எண்களும் பகா எண்களாக இருப்பதில்லை  என்றும் நிறுவலாம். இத் தொடர்பில்   நான்கும் முறையே  P₁, P₂, P₃, P₄  என்ற  பகா  எண்களாக இருப்பதாகக் கொள்வோம் . a = P₁  என்றும் aⁿ [(k² -1)/2k]}²  = P₂ⁿ என்றும் கொண்டால் [(k² + 1)/2k]² = 1 + (P₂/a)ⁿ . எனவே  aⁿ {[(k² + 1)/2k] x [(k² -1)/2k]}² = p₂ⁿ { 1 + (P₂/a)ⁿ] = P₃ⁿ . இது P₂²ⁿ = P₁ⁿ ( P₃ⁿ – P₂ⁿ) என்ற நிபந்தனை மூலம்  P₂ ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கமுடியாது என்று தெரிவிக்கின்றது.