பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம்=6

நிரூபணம் - 5

ராமானுஜன் (Ramanujan) தேற்றமும் ₃³R³₁  வகைச் சமன்பாடும்

ஒரு தொடர்பில் உள்ள எண்களைக் கொண்டே புதிய எண் தொடர்புகளை உருவாக்க    நேரியல் சேர்க்கை (linear combination) என்ற வழிமுறையைப்  பின்பற்றலாம் . இதைத் தொடர்பின் தன்னின  இனப் பெருக்கம் (self generation) என்பர். மடியெண் அதிகரிக்க அதிகரிக்க  வழிமுறை மேலும் மேலும் சிக்கலுள்ளதாகும்  என்பதால்  a³  + b³  = c³  + d³ என்ற தொடர்பை இவ் வழிமுறைக்கு உட்படுத்தி  புதிய தொடர்பைப் பெறும் வழிமுறையைப் பற்றி அறிவோம்.   

[9,10 = 1,12]³  என்ற எளிய தொடர்பை எடுத்துக்கொள்வோம்.     (9x + y)³ + (10x + 12y)³  = ( x + 10y)³  + (12x +9y)³ . இத் தொடர்பில் x³, y^{3 .} ன் குணகங்கள் (coefficients) சமன்பாட்டின் இருபக்கங்களில் சமமாக இருப்பதால் அவற்றை விட்டுவிடலாம். இத்தொடர்பு சமமாக இருக்க வேண்டுமெனில்  y = (25/377) x என்ற மதிப்பைப் பெற்றிருக்க வேண்டும். இம் மதிப்பை பதிலீடு செய்து [3418,4070 = 4749,627]³   என்ற புதிய எண் தொடர்பைப் பெறலாம். (9x + y)³ + (10x + 12y)³  = (9 x + 10y)³  + (10x +9y)³  என்ற தொடர்பு y = - (143/87) x என்ற மதிப்பையும். [640,647,417 = 846]³  என்ற  எண் தொடர்பையும், (9x + y)³ + (10x + y)³  = (9 x + y)³  + (10x +y)³  என்ற தொடர்பு y = - 6 x என்ற மதிப்பையும். [3,4,5=6]³   என்ற  எண் தொடர்பையும் தருகின்றன.

இவ்வழிமுறையால் ₃³R³₁  வகைத் தொடர்புகளைக் கொண்டு தன்னின இனப்பெருக்கத்தால் புதிய தொடர்புகளைப் பெற முடியும் . [1.6.8=9]³  என்ற எண் தொடர்பைக் கொண்டு

(x +6y)³ + (6x+8y)³ + (8x+y)³ = (9x +9y)³ = 729 (x+y)³  

x³, y^{3 .} ன் குணகங்கள் இரு பக்கமும்  சமமாக இருப்பதால் அவற்றை விட்டுவிடலாம். 3 பொதுக்காரணியாக இருப்பதால் அதையும் நீக்கிவிடலாம். இது  y  = - (53/43) x என்ற தீர்வையும், [166, 275 = 90,291]³ என்ற எண் தொடர்பையும் தருகின்றது.

ஒரு சமயம் ராமானுஜன் இரு மும்மடிகளின் கூட்டுத் தொகையை   இரு வேறு மும்மடிகளின் கூட்டுத் தொகையாகக் காட்டும் மிகச் சிறிய எண் 1729  என்று கூறி அதை 1729 = 9³   +   10³    =   1³  +  12³  என்று குறிப்பிட்டுக்காட்டினார் . ராமானுஜன் இத்தகைய எண் தொடர்புகளுக்கான ஒரு பொதுச் சமன்பாட்டை நிறுவியுள்ளார் (பக்கம் 266 ,தொகுதி  II NBSR  ராமானுஜன்  நோட்டுப்புத்தகம்  2 ). p,q,r  என்ற மூன்றின் மதிப்புக்களும், சார்பிலா  மதிப்புள்ள a,b ஆல் ஆன ஒரு இருமடியோடு [(a+b)² ] தொடர்புபடுத்தி  p = (a+b)²  - 3a²   ; q = (a+b)² – 3ab ; r = (a+b)²  - 3b² .இத் தொடர்புகள்  q – p = 3a(a-b) , r - q = 3b(a-b)  போன்ற துணைத் தொடர்புகளைத் தருகின்றன. m,n  என்ற சார்பிலா இரு எண்கள் நிபந்தனைக்குட்பட்டp,q,r இவற்றின் நேரியல் சேர்க்கைகளின்   மும்மடிகளுடனான ஒரு தொடர்பைத் தருகின்றது.

                  m (mq +nr)³  +  n (mp+nq)³   =   m (np + mq)³  + n (nq + mr)³

இத் தேற்றத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட  நேர்வு

  

       (3a² + 5ab – 5b² )³   + ( 4a² – 4ab + 6b²)³  +  (5a² – 5ab – 3b² )³  = (6a² – 4ab + 4b² ) ³

 

      a,b  க்கு முழு எண் மதிப்புக்களைக் கொடுத்து  ₃³R³₁  வகைச் சமன்பாட்டிற்கான எண் தொடர்புகளைப்  பெறலாம். எண் தொடர்புகளுக்கான  சில எடுத்துக்காட்டுக்கள்

                                      a                   b           [a,b,c = d]³

                                      1                   0            [3.4.5= 6]³

                                                           2             [7,14,17= 20]³

                                                           3           [27,30,37 = 46]³

                                                           4           [54.57.63= 84]³ 

                                       2                  3          [ 3,36,37 = 46]³

                                       3                  1           [27,30,37=46]³ 

                                                         

a = b  என்ற நிலையில் இப் பொதுச் சமன்பாட்டில் உள்ள ஒரு கூறு எதிர்குறியுடையதாகி விடும்போது  ₂³R³₂  வகைக்கான எண் தொடர்புகளைத் தருகின்றன மேலும் இரு பக்கங்களிலும் உள்ள இரண்டு மும்மடிகளும் சமமானவைகளாக இருக்கின்றன      

இச் சமன்பாட்டில் a,b யின் மதிப்புக்களை பரிமாற்றம் செய்துகொண்டாலும் எண் தொடர்பு மாறாதிருக்கின்றது. b = 0 , a = 1  என்ற நிபந்தனை சுருங்கா எண்   தொடர்புகளையும், a  யின் உயர் மதிப்புகள்  சுருங்கும் எண் தொடர்புகளையும் தருகின்றது

இத் தொடர்பில் இருக்கும் நான்கு உறுப்புக்களில் ஏதாவதொன்றை சுழியாக்கிக் கொண்டால் சார்பிலாதிருந்த a.b-  ன் மதிப்புக்கள்   ஒன்றையொன்று சார்ந்திருக்கின்றன. இவற்றுள் ஒன்றின் மதிப்பை முழு எண்ணாகக் கொண்டு மற்றொன்றின் மதிப்பை கணக்கிட்டால் அது எப்பொழுதும் கூறு படா எண்ணாகவோ அல்லது சிக்கல் எண்ணாகவோ இருக்கின்றது   அதனால் எண் தொடர்பில் உள்ள கூறுகளும் முழு எண்களால்  ஆன எண்களால் அமைவதில்லை . ராமானுஜனின் பொதுத் தொடர்பில் உள்ள முதல் கூறைச் சுழியாக்கினால் , a = (b/6) [ - 5 + √ 85] , b =3 எனக்கொண்டால்   a = (-5 + √ 85)/2 . இம் மதிப்புக்களை ப் பொதுத் தொடர்பில் பதிலீடு செய்ய

                        (194  - 16 √ 85)³  +  ( 148 - 20√ 85)³   =  (231 – 21 √ 85)³

என்ற எண் தொடர்பு மட்டுமே கிடைக்கின்றது. இது போல பொதுத் தொடர்பிலுள்ள பிற கூறுகளில் ஒன்றை சுழியாக்கினாலும் ₂³R³₁   வகைத் தொடர்பாகச் சுருங்கும் எண் தொடர்புகளில் மூன்று எண்களும் முழு எண்களாக  இருப்பதேயில்லை. இது     ₂³R³₁ வகைத் தொடர்புகள் பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்திற்கு உட்பட்டிருக்கின்றன என்பதைத் தெளிவாகக் கூறுகின்றது. a³ + b³ + c³ = d³ என்ற தொடர்பில் a³ நீக்கிவிட்டு a³ ன் மதிப்பை பிற கூறுகளுடன் இணைத்துக் கொண்டால் (b³ + x) , (c³ + a³- x) என்ற  இரண்டும் முழு எண்களாலான மும்மடிகளாக  இருப்பதில்லை  முழு எண்களாலான₃³R³₁    தொடர்பில்  ஒரு உறுப்பைச் சுழியாக்கினால்  பிற மூன்று உறுப்புக்களும் முழு எண்களாக அமைவதில்லை .என்ற உண்மை பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்திற்கு மற்றொரு நிரூபணமாகிறது       

ராமானுஜனின் பொதுத் தொடர்பு போல  யங் (J. Young) என்பாரின் தொடர்பும் இதையே உறுதிப்படுத்துகின்றது. இவருடைய ₃³R³₁  வகைப் பொதுச் சமன்பாட்டில்  இருக்கும் நான்கு உறுப்புக்களும் p ,q  என்ற சார்பிலா இரு மாறிகளைக்(Variables)  கொண்ட கோவைகளாக இருக்கின்றன.

(p²+16pq-21q²)³ + (-p²+16pq+21q²)³ + (2p²-4pq+42q²)³ = (2p²+4pq+42q²)³

p.q விற்கு விருப்பம்போல எண் மதிப்புக்  கொடுத்து மும்மடிகளாலான எண் தொடர்புகளைப் பெறலாம்.

P=1;q=1;  36³  + 40³  = 48³  + 4³

P=2, q=1 ; 15³  + 49³  +  42³  = 58³

இதில் ஏதாவதொரு உறுப்பைச் சுழியாக்கி ₂³R³₁   வகைப் பொதுச் சமன்பாடாக மாற்றலாம் . அப்போது p,q   இரண்டும்  ஒன்றையொன்று சார்ந்திருக்கிறது. அதில் ஏதாவதொன்றை முழு எண்ணாகக் கொண்டால்  மற்றொன்று கூறுபடா  அல்லது சிக்கலெண்ணாக மட்டுமே  இருக்கின்றது .இது  ₂³R³₁   வகைப் பொதுச் சமன்பாட்டிற்கு  முழு எண்களாலான தீர்வு இல்லை என்பதையே உறுதிப்படுத்துகின்றது.

 

 வீட்டா (F.Vieta)  வின் பொதுத் தொடர்பும் இதே கருத்தை வலியுறுத்திக் கூறுகின்றது. a,b என்ற இரு சார்பிலா மாறிகளைக் கொண்டு ₃³R³₁  வகைக்கான ஒரு பொதுத் தொடர்பை  வீட்டா நிறுவியுள்ளார் .

(a⁴  -2ab³)³  + ( a³b  + b⁴)³  + (2a³b  -  b⁴)³   = (a⁴ + ab³)³

a = 2, b = 1 எனில்  [12,9,15 = 18]³ à [4,3,5,= 6]³

a³ = 2b³   என்றபோது பொதுத் தொடர்பிலுள்ள முதல்  உறுப்பு சுழியாகி ₂³R³₁  வகைக்கான தொடர்பாக மாற்றம் பெறுகின்றது . இவற்றுள் ஏதேனுமொன்று முழு எண்ணாக இருந்தாலும் மற்றொன்று கூறுபடா அல்லது சிக்கலெண்ணாகவே இருக்கின்றது. .அதனால்  உருமாற்றம் பெற்ற தொடர்பில் மடி மூல எண்களும் 

அப்படியே இருக்கின்றன. பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்திற்கு இது ஆதரவாக இருக்கின்றது.

அல்ஜீப்ராவைப் பயன்படுத்தி  ஒரு பொதுச் சமன்பாட்டை நிறுவி,  அதன் சமனுக்கான நிபந்தனையை ஏற்படுத்திக்கொண்டு தீர்வுசெய்து ₂³R³₁  வகைத் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம்     

₂³R³₂ வகையைச் சேர்ந்த (x +ma)³  - (x –ma)³  =[(x-na)/b + c]³  -  (x-na)/b – c ]³ என்ற ஒரு பொதுத் தொடர்பைக் கருதுவோம். இதில் x,a,b,c,m,n  முழு எண்களாலான மாறிகளாக இருக்கட்டும். மேலும்  b > 1 , m ≠ n ,  இச் சமன்பாடு  m³ a³  + 3max²  =  c³  + (3b/c²) (x-na)². c = mab²

என்ற நிபந்தனைத் தொடர்பைத் தரும் . இது   x = (a/6n) [ m²b⁶ + (3n²  - m²) ] என்ற தீர்வைத் தருகின்றது. இம் மதிப்பை பதிலீடு  செய்து எடுத்துக் கொண்ட பொதுத் தொடர்பை m,n,b என்ற மூன்று சார்பிலா மாறிகளோடு மட்டுமே தொடர்புடைய  ஒரு அல்ஜீப்ரா தொடர்பை ஏற்படுத்திக் கொள்ள முடியும்.

{b[m²b⁶ + (3n²  - m²) + 6mn)]³ + [m² b⁶ + (3n²  - m²) – 6n² – 6mnb³]³ = {b[m²b⁶ + (3n²  - m²) - 6mn)]³ + [m² b⁶ + (3n²  - m²) – 6n²  + 6mnb³]³

சார்பிலா மாறிகளுக்கு விருப்பம்போல மதிப்புக்களைக் கொடுத்து  எண் தொடர்புகளைப் பெறலாம் .

                 m           n             b                                       [ a,b,c = d]³

                        1            2             2                 [45,126,147=174]³  à [ 15,42,49=58]³

                1            3             2                [108,144,180= 216]³ à [3.4.5=6]³

                2            3             2                [63,486,,513=630]³  à [ 7,54,57 = 70]³

               `1            4             2                [174,177,207= 270]³ à [ 58,59,69 = 90]³

                         2            4             2                [180,504,588= 696]³  à [ 15,42,40 = 58]³

                        3             4             2                [57,1086,1095= 1374]³  à [19,362,365= 458]³

 

இதிலுள்ள இரண்டாவது கூறை சுழியாக்கிக் கொண்டால்  m² b⁶ = 3n² + m² + 6mnb³

இதை ஒரு இருபடிச் சமன்பாடாகக் கொண்டு  b³ ஐ  தீர்வு செய்தால் b³ = (3n/m) ± (1/m) √ (12 n²  + m²)^.. b கூறுபடா எண்ணாகவும் , சிக்கலெண்ணாகவும் இருப்பதால், முழு எண்களாலான ₃³R³₁   வகைச் சமன்பாட்டை  முழு எண்களாலான₂³R³₁  வகைச் சமன்பாடாக மாற்ற முடியாது என்ற உண்மை பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்திற்கு மற்றொரு நிரூபணமாக இருக்கின்றது.

    

அல்ஜீப்ராவைப் பயன்படுத்தி ₂³R³₂  வகைக்கான பொதுத் தொடர்புகளை விருப்பம்போல பல விதமாக அமைத்துக் கொள்ளலாம்.சமனின் அடிப்படையில் , தொடர்பிலுள்ள சார்பிலா மாறிகளுக்கிடையிலான தொடர்புகளை ஏற்படுத்திக்கொண்டு எண் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம்

எடுத்துக்காட்டாக,  (x - a )³  + ( x + a )³  = (x  - a + pn)³  + (x + a – qn)³ என்ற தொடர்பைக் கருதலாம்.p க்கும்  q க்கும் சில அனுகூலமான மதிப்புக்களையும்  n க்கு நிபந்தனைக்குட்டபட்ட மதிப்புக்களையும்  கொடுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, p = 9 , q = 1,  என்ற நிலையில்  

12nx² – [30 na – 123n²]x  + [ 12na²  -120n²a + 364 n³ ]  =  0

n = 3  எனக்கொண்டு x,a ன் மதிப்புக்களைத் தீர்வு செய்தால்

x = [(30a – 369) ±  3 √ 36a² -540a – 2343]/24 

a = [45 ± √ [4368 + S² ]/6

இதில்  S² = 36 a² – 540a – 2343

n  = 3 க்கு  சில எளிய தீர்வுகளை S க்கு சில  அனுகூலமான மதிப்புக்களால் பெறமுடியும்

                         S          a                      x             [a.b.c =d]³

                                  11         56/3                       28/3           [28,53,75=84]³

                                                         79/12         [145,179,267 = 303]³

                                 31       59/3                16/3           [ 38,43,66=75]³

                                                 -14/5                     157/12         [79.245,357 = 393]³

                                 64       137/6              127/6         [5.76,123=132]³

                      71        71/3               16/3           [26,55,78=87]³

                                                 -26/3               277/12      [7,317,,525=561]³

n -ன் உயர் மதிப்புகளுக்கான எண் தொடர்புகள்  சுருங்கி n  = 3 க்குரிய  எண் தொடர்புகளாகிவிடுகின்றன.

எந்தவொரு பொதுத் தொடர்பையும் நிபந்தனைக்கு உட்படுத்தி அதிலுள்ள ஏதாவதொரு உறுப்பைச் சுழியாக்கிக் கொள்ளலாம் . ஆனால் அப்படிச்  செய்யும் போது மடி மூல எண்கள் முழு எண்களாக இருப்பதில்லை.  இந்த உண்மையை அனைத்து பொதுத் தொடர்புகளும் விளக்குகின்றன . x = a  என்ற நிலையில்  தொடர்பிலுள்ள (x-a)  என்ற உறுப்பு சுழியாகி விடுகின்றது.  x = a = (30a -369) ± 3 √ ( 36a²  - 540a  - 2343) என்பதால்  2a² - 3a – 1092m= 0 . இது x = a = [ ±3 + √ 8745]/4 என்ற தீர்வையும் 27³  + [( -3 + √ 8745)/2]³  = [(3 + √ 8745)/2]³       என்ற எண் தொடர்பையும் தருகின்றது . a³ + b³ = c³ + d³ என்ற தொடர்பில்  a யை சுழியாக்கி (b³ + a³) யோ அல்லது (c³ – x) , (d³ – a³ + x) யோ முழு எண்களாலான மும்மடிகளாக்க முடிவதில்லை. .இதில்  a க்குப் பதிலாக b .c அல்லது d யை எடுத்துக் கொண்டாலும் முடிவில் மாற்றமில்லை..            

இரண்டு அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட மாறிகளின்றி  ஒரு மாறியின் வெவ்வேறு மடிகளைக் கொண்டு  ஜெரார்டின் (Gerardin) என்பார் ₂⁴R⁴₂   வகைக்கான ஒரு பொதுத் தொடர்பை அறிந்துள்ளார்.

(a+3a²-2a³+a⁵+a⁷)⁴ + (1+a²-2a⁴-3a⁵+a⁶)⁴ =   (a-3a²-2a³+a⁵+a⁷)⁴ + (1+a²-2a⁴+3a⁵+a⁶)⁴

a=2 என்ற மதிப்புக்கு கொடுக்கும் போது ₂ ⁴R⁴₂   வகைக்கு மிகச் சிறிய எண்தொடர்பைத் தருகின்றது

                                    158⁴   + 59⁴  = 134⁴  + 133⁴

இதில் முதலுறுப்பைச்  சுழியாக்கிக் கொண்டால்    a= 0 என்ற மதிப்பைத் தவிர்த்துக்கொண்டால் a -ன் மதிப்பு சுழியிலிருந்து -1  க்கு உட்பட்ட பின்ன மதிப்புக்களைப் பெற்றிருக்கின்றது . இரண்டாவது உறுப்பைச் சுழியாக்கிக் கொண்டால் a -ன் மதிப்பு சுழியிலிருந்து 1  க்கு உட்பட்ட பின்ன மதிப்புக்களைப் பெற்றிருக்கின்றது. எந்த நிலையிலும் முழு எண்களாலான எண் தொடர்பை ஏற்படுத்த முடிவதில்லை. பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம் 714,591,416,091,389 வரையிலான உயர் மடியெண்களுக்கும் உண்மையானது என்பதை கிரண்வில் (A.Cranville) என்பார்  கணனியின் உதவியோடு நிருபித்துள்ளார். இது அனந்தம் (infinity) வரையுள்ள மடிகளுக்கும் உண்மையானதே.ஏனெனில் n க்கு முழு எண்களாலான தீர்வுகளைத் தராத1 + qⁿ = rⁿ   என்ற தொடர்பு , n+1  மடிக்கும் தருவதில்லை. ₃³R³₁  வகைப் பொதுத் தொடர்பிலுள்ள ஓர் உறுப்பை அதிலுள்ள சார்பிலா மாறியின்மதிப்பால் சுழியாக்கிக் கொண்டு ₂³R³₁  வகைத் தொடர்பாக மாற்ற முடியாமை  பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்தை நிரூபிக்கின்றது.