பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம் -2

நிரூபணம் -1

மடி மூல எண்களும் பகா எண் காரணிகளும்

அனைத்து எண்களையும் பகா எண் காரணிகளால் குறிப்பிடமுடியும்  .ஒரு ஒட்றை எண்ணின் காரணிகளில் 2 பங்கு பெறவே முடியாது .அதன் காரணிகள் அனைத்தும் ஒட்றைப்படை பகா எண்களாக ( P ) அல்லது அவற்றின் மடிகளாக  மட்டுமே இருக்கும். ஆனால் ஒரு இரட்டை எண்ணின் காரணிகளில்  2 (அல்லது இரண்டின் மடி) கட்டாயமாகவும் , அதனுடன் ஒரு சில ஒட்றை பகா  எண் காரணிகளும் அல்லது அவற்றின் மடிகளும் இருக்கும் இதன்படி எந்தவொரு எண்ணையும் அதன் பகா எண் காரணிகளின் பெருக்கல் பலனாகக் காட்டமுடியும்.

N (ஒற்றை)  = P₁^α P₂^β P₃^γ...................P_m^ω 

N(இரட்டை) = 2^m P₁^α P₂^β  ...................P_m^ω 

இதில்  α,β,γ,...........ω எண்ணின் N-ன் மதிப்பைப் பொறுத்து  சுழியிலிருந்து  ஏதாவதொரு மதிப்பைப் பெற்றிருக்கலாம்,m-ன் மதிப்பு  1 லிருந்து ஏதாவதொரு ஒரு மதிப்பைப் பெற்றிருக்கும். எல்லா மடிஎண்களும் சுழியானால்  N = 1 .எனவே  N ≥  2 எனில் ஒன்று  அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட பகா எண் காரணிகள்  சுழியாக இருப்பதில்லை.

ஒரு எண் தொடர்பிலுள்ள எண்களை அவற்றின் பகா எண் காரணிகளால் குறிப்பிட்டு தீர்வு செய்ய முடியும். இது முழு எண்களாலான தீர்வுகளுக்கு எங்ஙனம்  ₂²R²₁  வகைத் தொடர்புகளுக்கு (பிதகோரஸ் தொடர்புகள்) அனுகூலமாகவும் ₂³R³₁   வகைத் தொடர்புகளுக்கு (பெர்மாட் தொடர்புகளுக்கு)  அனுகூலமற்றதாகவும்   இருக்கின்றது என்பதை கணித விளக்கத்துடன் முதலில் தெரிந்து கொள்வோம் . பின்னர் அதை பொதுமைப் படுத்திக் கொள்வோம்.

₂ⁿRⁿ₁ வகைத் தொடர்பிலுள்ள எண்கள்  (ஒட்றை + இரட்டை =ஒட்றை) என்ற எண்களுடன் மட்டுமே இருக்க முடியும் என்று முன்பு அறிந்து கொண்டோம். இது மூன்று மடி மூல எண்களும் பகா எண்களாக இருப்பதைத் தவிர்க்கிறது . a²  + b²  = c²  என்ற தொடர்பை a²  = c² – b² = (c-b)(c+b)  எனத்  திருத்தி எழுதலாம்.c.b இரண்டும் பகா எண்களாக இருந்தால் அவற்றின் வேறுபாடும் கூடுதலும் இரட்டையாவே இருக்கும் . இது  a ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கமுடியாது என்பதைத் தெரிவிக்கின்றது. ஒன்று ஒரே இரட்டைப் பகா எண்ணான 2 ஆகவும் மற்றொன்று வேறொரு பகா எண்ணாகவும் இருந்தால் அவற்றின் கூடுதலும் வேறுபாடும்  ஒற்றையாகவே இருக்கும். இவை a²   ன்  இரு வேறு காரணிகளாக இருப்பதால்  a  ஒரு பகா எண்ணாக இருக்க முடியாது  என்பது வெளிப்படை. ஒரு பகா எண்ணின் எம்மடிக்கும் அப்பகா எண் மட்டுமே காரணியாக இருக்கமுடியும் என்பதால் வெவ்வேறு மதிப்புடைய இரு உறுப்புகளின் பெருக்கல் பலன் ஒரு பகா எண்ணாக இருக்க முடியாது.

இவ்விளக்கம் இருமடித் தொடர்புகளுக்கு மட்டுமின்றி  மும்மடி மற்றும் உயர் மடித் தொடர்புகளுக்கும்  உண்மையாக இருக்கின்றது .

c³ =  a³ + b³ = (a+b) (a² – ab + b²) ; a³ = c³ – b³ = (c-b) (c² + cb + b²)

a⁴ = c⁴ - b⁴  = (a+b)(a³ –a²b + ab² – b³)  = (a-b) (a³ +a²b + ab² + b³) = (c-b)(c+b)(c² + b²)

c⁵ = a⁵ + b⁵ = (a+b) (a⁴ – a³b + a²b² – ab³ + b⁴) ; a⁵ = c⁵ – b⁵ = (c-b) (c⁴ + c³b + c²b² + cb³ + b⁴)

a⁶ = c⁶ – b⁶ = (c+b)(c⁵ – c⁴b + c³b² - c²b³ +cb⁴ –b⁵)= (c-b) (c⁵ + c⁴b + c³b² + c²b³ +cb⁴ + b⁵) = (c-b)( c² + cb + b²) (c³ + b³) = (c+b)(c²-cb + b²) (c³- b³) = (c-b)(c+b) ( c² - cb + b²) ( c² + cb + b²)

c⁷ = a⁷ + b⁷ = (a+b)(a⁶ – a⁵b + a⁴b²- a³b³ +a²b⁴ – ab⁵ + b⁶) = (a-b) (a⁶ + a⁵b + a⁴b² + a³b³ +a²b⁴ + ab⁵ + b⁶)

பகா  எண் காரணிகளால் பிதகோரஸ் எண் தொடர்பை நிறுவுதல்

 a²  = c² – b² என்ற தொடர்பிலுள்ள மூன்று உறுப்புகளின் மடி மூல எண்களை பகா எண்ணாகக் குறிப்பிடமுடியாவிட்டாலும்  பகா  எண் காரணிகளால் குறிப்பிடலாம். c,b - ன் பகா எண் காரணிகள் எதுவாக இருந்தாலும்  (c-b)(c+b) -ன் பகா எண் காரணிகள் a -ன் பகா எண் காரணிகளின் இருமடிக்குச் சமமாக இருக்கும். எனவே a² ன் பகா எண் காரணிகளை (c+b) க்கும் (c-b) க்கும் பிரித்து தீர்வு செய்து c மற்றும் b ன் மதிப்புக்களை a -ன் மதிப்பால் குறிப்பிடலாம்.   காரணிகளின் பிரிவினையை   மாற்றி   a ன் ஒரே மதிப்பிற்கு வெவ்வேறு இருமடி எண் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம். இவற்றுள்  சில சுருங்காத் தொடர்பாகவும் சில சுருங்கும் தொடர்பாகவும் இருக்கும்.

 a² = (c-b) (c+b); c - b = 1 எனில் c+b = a² இவ்விரு தொடர்புகளையும் தீர்வு செய்து a என்ற ஒரே மாறியோடு  தொடர்புடைய  a² + [ (a² – 1)/2]²   =   [ (a²  + 1)/2]² என்ற ஒரு பொதுத் தொடர்பைப் பெறமுடியும்.   c – b = k , c+b = a²/k என்ற பிரிவினை  a² + [ (a² – k²)/2k]²   =   [ (a²  +k² )/2k]² என்ற தொடர்பையும், c – b = a/k , c+b = ka என்ற பிரிவினை a²  + [a(k² -1)/2k]² = [a(k²  + 1)/2k]² என்ற தொடர்பையும், a = P₁P₂ , c – b = P₁² , c+b = P₂² என்ற பிரிவினை (P₁P₂)² + [(P₂² – P₁²)/2]²  = [(P₂² + P₁²)/2]² என்ற தொடர்பையும் தருகின்றது. a  எம் மதிப்புடையதாக இருந்தாலும் இரட்டைப்படையில் இருக்கும் போது  b யும் c யும் ஒட்றைப்படையில் எண் மதிப்புக்களைக் கொண்டிருக்கின்றன, ஒட்றைப்படையில் இருக்கும் போது  b  இரட்டையாகவும் , c ஒட்றையாகவும் இருக்கின்றது . இதிலுள்ள a,b,c  என்ற மூன்று மாறிகளில் ஏதேனும்  இரண்டு  மற்றொன்றைச்  சார்ந்து இருப்பதால் ₂²R²₁  வகைத்  தொடர்புகளின் மூலத் தொடர்புகள்

{1  + [(k² -1)/2k]² = [(k²  + 1)/2k]² } à 1 + f₁² = f₂² 

[(2k)/(k² -1)]² + 1  = (k² + 1)²/ (k²-1)² } à f₁²  + 1 = f₂²

[(2k)/(k² +1)]² + [(k² – 1)/(k² + 1)]²  = 1à f₁² + f₂²  = 1

என்றவாறு அமைந்துள்ளன.  அதாவது a,b,c என்ற மூன்று மடி மூல எண்களும் முறையே 2k, (k² -1). (k² +1)  க்கு நேர் விகிதத் தொடர்பில்  அமைந்திருக்கின்றன இது உண்மையில் பிதகோரஸ் தொடர்பிற்கான ஒரு நிபந்தனையே ஆகும் . n = 2 எனில் ₂²R²₁ தொடர்பு முழு எண்களால் அமைய 1 = r² – q²  என்ற தொடர்புக்கு  இணக்கமாக r,q மதிப்புகளைப் பெற்றிருக்கவேண்டும் என்பதின் வேற்றுருவே . 1 = r² – q² = (r-q) (r+q). “1”  ன் இரு காரணிகளும்  1 ஆக இருக்க முடியாது . எனவே அவை ஒவ்வொன்றும் பின்னமாகவே  இருக்கவேண்டும் . r- q = 1/k என்றும் r+ q = k என்றும் கொண்டு r,q-ன் மதிப்புக்களை தீர்வு செய்தால் r=[(k² +1)/2k] , q =[(k² -1)/2k]  என்ற மதிப்புக்களைப் பெற்று பொதுக்காரணியற்ற பிதகோரஸ் தொடர்பை(2k)² + (k²-1)² = (k²+ 1)² என நிறுவலாம் . k  -ன் முழு எண் மதிப்புகளுக்கு முழு எண்களுடனான எண் தொடர்புகளைத் தருகின்றன.தொடர்பில் k  ஒரு மாறியாக இருப்பதால், அதைப் பொருத்த பகுப்புக் கூறு தொடர்பின் இரு பக்கமும் சமமாக  4k(k² +1) என  இருக்கின்றது. மேலும் இந்தத் தொடர்பிலுள்ள ஒவ்வொரு மடிமூல எண்ணையும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் பெருக்கிக் கொண்டாலும் சமநிலை மாறுவதில்லை . மூன்று உறுப்புக்களும் ஒரே மடியில் இருப்பதால் மடி மூல எண்கள்  இதை அனுமதிக்கின்றன.

k = 2n போன்ற மதிப்புகளுக்கு (4n)² + (4n² – 1)² = ( 4n² + 1)² என்ற பொதுத் தொடர்பும்               k =2n +1  போன்ற மதிப்புகளுக்கு (2n+1)² + [2n (n+1)]² = [2n² +2n + 1]²  என்ற பொதுத் தொடர்பும், பொதுக்காரணியற்ற பித்தகோரஸ் தொடர்புகளாகின்றன.

இருமடித் தொடர்புகளுக்கு   அனுகூலமாயிருக்கும் இந்த நிபந்தனை உயர்மடித்  தொடர்புகளுக்கு  அனுகூலமாயிருப்பதில்லை.  உயர் மடிகளுடனான ₂ⁿRⁿ₁ (n>2)  வகைத் தொடர்புகளில் இந்த அனுகூலம்     இல்லாமற் போவதற்குக் காரணம் முழுஎண்களாலான 1+(f₂/f₁)³ =(f₃/f₁)³ என்ற தொடர்பை நிறுவ முடியாமையே. முழு எண்களாலான 1 + f₁³ = f₂³ என்ற தொடர்பை ஏற்படுத்த முடிந்தால் அதை ஒரு மும்மடி எண்ணால் பெருக்கி  முழு எண்களாலான  ₂³R³₁எண் தொடர்பை ஏற்படுத்த முடியும். அப்படிப்பட்ட தொடர்பு மும்மடிகளுக்கு மட்டுமின்றி பிற எந்த உயர் மடிகளுக்குமில்லாததால் முழுஎண்களாலான ₂ⁿRⁿ₁  வகைத் தொடர்புகளை உருவாக்க முடிவதில்லை .மாறாக  முழுஎண்களால் நிறுவமுடியும்  1 + f₁² = f₂²  என்ற தொடர்பைக் கொண்டு முயற்சிக்கும் போது பெருக்கப்படும்  மும்மடியைஅல்லது வேறு எந்த உயர் மடியை  இருமடி மூலத்தோடு முழு எண்ணாக இணைத்து ஒரு மும்மடியாக்கஅல்லது உயர் மடியாக்க  முடியாமற் போவதால் ஆகும் . ₂ⁿRⁿ₁ வகைத் தொடர்புகளில் a,b,c   என்ற மூன்று மடி மூல எண்களும் முறையே 1, [(k² – 1)/2k]^2/n, [(k² +1)/2k]^2/n   க்கு நேர் விகிதத் தொடர்பில்  அமைந்திருக்கின்றன .

 n = 3 எனில் a³ + a³ f₁² = a³ f₂² à a³ + (aq)³ = (ar)³ என்று முழு எண்களால் அமைய 1 + q³ = r³  என்ற நிறைவுறா நிபந்தனை தடையாக இருக்கின்றது. இதை நாம் வேறு விதமாகவும் உறுதிசெய்யலாம்.  1 = (r³ – q³) = (r-q)(r² + rq + q²) என்பதால் r² + rq + q² = r- q = 1 எனச் சம மதிப்புள்ளனவாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில்  1 = r² + rq + q² =(r-q)² +3rq=  1 + 3rq . இது  3qr = 0  என்ற நிபந்தனையால்   q=r=0   என்று தெரிவிக்கின்றது. r- q = 1/k என்றும் r² + rq + q² = (r-q)² + 3rq = (1/k)² + 3rq = k  என்றும் கொண்டால் rq= [(k³ -1)/3k². r,q - ன் மதிப்புக்களைத் தீர்வு செய்து , மும்மடித் தொடர்பை நிறைவு செய்தால் 1 + {[ -1 + √ (4k³ – 1)/3]/2k}³ ={[1 + √ (4k³ – 1)/3]/2k}³ என்ற கூறுபாடா எண்களாலான தொடர்பை மட்டுமே பெறமுடிகிறது. இது  முழு எண்களுடனும் ஒரே மடியெண்ணுடனும் மூவுறுப்புகள் கொண்ட ₂³R³₁ எண் தொடர்புகளை உண்டாக்க முடியாது என அறிவிக்கும் முடிவாகும்..

இதே கருத்தை வேறொரு வழிமுறையாலும் உறுதி செய்யலாம். ₂³R³₁  க்கான ஒரு பொதுத் தொடர்பு.

a³  + a³ [ (k² – 1)/2k]²    = a³ [(k² + 1)/2k]²  -à a³  + (aq)³  =  (ar)³

 இது 1 + q³  = r³   என்ற நிபந்தனையுடன் k²  = (q³ + r³) ± √[(q³ + r³)² + 1] என்ற நிபந்தனையையும் தருகின்றது. [(q³ + r³)² + 1].-ன்  மதிப்பு q,r ன் எம் மதிப்பிற்கும் இருமடி எண்ணாக இருப்பதில்லை . அதாவது k  ஒரு கூறுபடா எண்ணாக மட்டுமே இருக்க முடியும். இது  மடி மூல எண்கள் முழுஎண்களாக இருப்பதற்குத் தடையாக இருக்கின்றது    மும்மடிகளுக்கான முத்தொகுப்பு  முழு எண்களால் அமைவதில்லை என்பதை இது தெரிவிக்கின்றது.

 அதுபோல முழு எண்களால் aⁿ + bⁿ = cⁿ   என்ற  தொடர்பு aⁿ +(aq)ⁿ =(ar)ⁿ என்ற எண் தொடர்பாக அமைய 1 + qⁿ = rⁿ    என்ற நிறைவுறா நிபந்தனை தடையாக இருக்கும். மும்மடி மட்டுமின்றி எந்த உயர்மடிகளுக்கும்  இந்த வழிமுறையை விரிவுபடுத்தி  பொதுமைப் படுத்திக் கொள்ள முடியும்.

aⁿ  = cⁿ - bⁿ  = (c^n/2 -  b^n/2) (c^n/2 + b^n/2) 

c^n/2 -  b^n/2  = a^n/2 / k ;     c^n/2 + b^n/2 = k a^n/2

இவ்விரு சமன்பாடுகளின் தீர்வு   cⁿ  = aⁿ [ (k² + 1)/2k]² ;  bⁿ  =  aⁿ [(k² – 1)/2k]²

n -ன் மதிப்பு எதுவாக இருந்தாலும் ₂Rⁿ₁   வகைச் சமன்பாடுகள் அனைத்தும் aⁿ + aⁿ  [(k² – 1)/2k]² }  =  aⁿ [ (k² + 1)/2k]²  என்ற அடிப்படை  நிபந்தனைக்கு உட்பட்டிருக்க வேண்டும் . இதை aⁿ  + (ap)ⁿ = (aq)ⁿ   என்ற தொடர்பாய் மாற்ற 1 + Pⁿ  = qⁿ ,  k² =  (pⁿ + qⁿ) ± √[(pⁿ + qⁿ)² + 1] போன்ற  நிபந்தனைகளைக் கட்டாயப்படுத்துகின்றது..

   இம் மதிப்புக்களைப் பதிலீடு செய்து aⁿ +{a [(k² – 1)/2k]^2/n }ⁿ  ={a [(k² + 1)/2k]^2/n }ⁿ   என்ற பொதுத் தொடர்பைப் பெறலாம்.n = 2 ஆக இருக்கும்போது மட்டும்தான் அடைப்புக்குள் இருக்கும் உறுப்புகளின்  மதிப்பு முழு எண் மதிப்புக்களைப் பெறும் வாய்ப்புள்ளனவாக இருக்கின்றன.n ≥ 3 எனில் , அவற்றை முழுஎண்ணாக மாற்ற முடிவதில்லை. [(k² – 1)/2k]^2/n = p , [(k² + 1)/2k]^2/n = q  என்றும் p.q  முழு எண் மதிப்புள்ளவை என்றும் கொண்டால்   1 + pⁿ = qⁿ முழு எண்களால் பூர்த்தி செய்ய முடியாத ஒரு தொடர்பே நிபந்தனைத் தொடர்பாகின்றது.

 n ≥ 3 என்ற நிலையில் நிரந்தரமான இந்தத்   தடையே  பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்தை  மெய்ப்பிக்கின்றது.

ஒரு ₂²R²₁   தொடர்பில் உள்ள a²,b²,c²  என்ற மூன்று இருமடிகளும் முறையே (2k)², (k² -1)², (k² + 1)²  க்கு நேர் விகிதத் தொடர்பில்  இருக்கின்றன.                                                          

                                                               a                    b                             c

                                                              ^___        =     ^{_______ __}            =     ^____________ 

                                                              2k               (k² – 1)                    (k² +1)   

இதனால் நிபந்தனையின்றி மூன்று மடி மூல எண்களையும்  முழு எண்களாகக் காட்ட முடிகின்றது . k = 2 எனில் (a.b.c) = (4,3,5) என்றும் k  = 4 எனில் (a,b,c) = (8,15.17) என்றும் நிறுவமுடிகின்றது .ஆனால் ₂ⁿRⁿ₁   தொடர்பில் உள்ள  aⁿ ,bⁿ ,cⁿ    என்ற மூன்று உறுப்புகளும்  முறையே     (2k)², (k² -1)² , (k² + 1)² க்கு நேர்  விகிதத் தொடர்பில் உள்ளன . இதனால்  மூன்று மடி மூல எண்களை  முழு எண்களாகக் காட்ட முடிவதில்லை.  

                                                                    aⁿ                  bⁿ                            cⁿ

                                                              ^___        =     ^{_______ __}            =       ^____________ 

                                                             (2k)²            (k² – 1)²                   (k² +1)² 

அதாவது மடி மூல எண்கள் (2k)^2/n,(k² – 1)^2/n, (k² +1)^2/n க்கு  நேர்விகிதத் தொடர்பில் இருப்பதால்  ஒரு குறிப்பிட்ட  k ன் மதிப்பிற்கு மூன்று எண்களையும் முழு எண்களாகக் காட்ட முடிவதில்லை . எடுத்துக்காட்டாக  n = 3, k = 2 எனில் a =4, b = 6^2/3, c = 10^2/3 என்ற மதிப்பும் , 4³ + 6² = 10² என்ற எண் தொடர்பும் கிடைக்கின்றன. இதை 4³ + (6^2/3)³ = (10^2/3)³  என்று  முழுஎண்களற்ற  ₂³R³₁ வகைத் தொடர்பாக மட்டுமே திருத்தி அமைக்க முடியும். n = 3 , k =4 எனில் a =4, b = 15^2/3, c = 17^2/3 என்ற மதிப்பும் , 4³ + 15² = 17² என்ற எண் தொடர்பும் கிடைக்கின்றன. இதை 4³ + (15^2/3)³ = (17^2/3)³  என்று மட்டுமே திருத்தி அமைக்க முடியும்.  இருமடிக்கு முழு எண்ணாக இருக்கும்  மூன்று மடி மூல எண்களும்  மும்மடிக்கும் உயர் மடிகளுக்கும் இருப்பதில்லை  n >2 என்ற நிலையில்    மூன்று மடி மூல எண்களையும் ஒரே சமயத்தில் முழு எண்களாக மாற்ற முடியாமை பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்தை நிரூபிக்கின்றது    

அல்ஜீப்ரா சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இதே அடிப்படையில் பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்தை மெய்ப்பிக்கலாம் .  a²  -  b²  = (a-b) (a+b) என்ற சூத்திரத்தைக் கொண்டு நிரூபிப்போம்  

a³  =  c³  -  b³  = (c^3/2  -  b^3/2 ) ( c^3/2 + b^3/2 )

a > c - b என்பதால்  a²  > c²  - b²   மேலும் a^3/2  >  c^3/2  -  b^3/2

எனவே  (c^3/2  -  b^3/2 )  = a^3/2 / k என்றும்   ( c^3/2 + b^3/2 )  =  k a^3/2   என்றும் பிரிவினை செய்து கொள்ளலாம். இவ்விரு சமன்பாடுகளையும் தீர்வு செய்து b யையும் c  யையும் a உடன் தொடர்பு படுத்தலாம்.

b³  = a³ [ (k² – 1)/2k]²  ;   c³   = a³ [(k² + 1)/2k]²

இம் மதிப்புக்களை a³ + b³  = c³   என்ற பொதுச் சமன்பாட்டில் பதிலீடு செய்து சுருக்கினால் ₂³R³₁ வகைத் தொடர்புகளுக்கு மட்டுமின்றி  ₂ⁿRⁿ₁  வகைத் தொடர்புகளுக்குமான ஒரு மூலத் தொடர்பை பெறமுடிகிறது  .

            1  + [ (k² – 1)/2k]²    =  [(k² + 1)/2k]²

₂³R³₁  வகைத் தொடர்புகளானால் [ (k² – 1)/2k]^{2  ,} மற்றும்  [(k² + 1)/2k]²  இரண்டும் முழு எண்களாலான மும்மடிகளாக இருக்கவேண்டும்.  இதை முறையே q³  என்றும் r³  என்றும் கொண்டால்  அடிப்படைத் தொடர்பு  1 + q³  = r³   என்ற நிபந்தனையை விதிக்கின்றது. முழு எண்களாக இருக்கவேண்டும் என்ற நிபந்தனையைத் தளர்த்தாமல் இந்த நிபந்தனையை நிறைவேற்ற  முடியாது.

₂ⁿRⁿ₁  வகைத் தொடர்புகளில்  [ (k² – 1)/2k]^{2  ,} மற்றும்  [(k² + 1)/2k]²  இரண்டும் முழு எண்களாலான  n -மடிகளாக இருக்க. (k² – 1 )² = k⁴ – 2k² + 1 = 4k² qⁿ என்றும் (k² + 1)²  = k⁴ + 2k² + 1 = 4k² rⁿ  என்றும் இருக்க வேண்டும்.  ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றை கழிக்க (rⁿ – qⁿ) = 1 என்ற முழு எண்களால் நிறைவு செய்ய முடியாத தொடர்பே பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்திற்கு ஆதரவாக இருக்கின்றது . இரண்டையும் கூட்டினால்  [(k⁴ + 1)/2k² ] = rⁿ + qⁿ = (rⁿ + qⁿ) (rⁿ – qⁿ) = r²ⁿ - q²ⁿ. [ஏனெனில்  (rⁿ – qⁿ) = 1].  இது rⁿ (rⁿ-1) = qⁿ (qⁿ +1)  என்ற முழு எண்களால் நிறைவு செய்ய முடியாத தொடர்பைத் தருகின்றது. மேலும் (rⁿ – qⁿ)² = r²ⁿ + q²ⁿ  - 2rⁿqⁿ  =  1. இதிலிருந்து  r²ⁿ + q²ⁿ  = 1 + 2rⁿqⁿ என்று கிடைக்கும் தொடர்பை r²ⁿ - q²ⁿ. = rⁿ + qⁿ  என்ற தொடர்புடன் கூட்டினால்  2 r²ⁿ  = (r^n/2 + q^n/2)² + 1. ஒட்றை -இரட்டைச் சமனின்மையால் இது முரண்பாடான தொடர்பாயிருப்பதால் ₂ⁿRⁿ₁ ,(n >2) தொடர்புகளுக்கு முழு எண்களாலான தொடர்புகள் இயலாததாக இருக்கின்றது..

ஒரு இருமடி ( S² )ஒரு மும்மடிக்குச் ( C³ ) சமமாக இருக்கவேண்டுமானால் இருமடி மூல எண்ணே ஒரு மும்மடியாகவும் (x³) , மும்மடி மூல எண்ணே ஒரு இருமடியாகவும் ( x²) இருக்க வேண்டும்.

                                                                          S²  =  C³

                                                                        (x³)² = (x²)³   

இதன்படி  (k²  - 1)/2k   =  p³    ;  (k²  + 1)/2k  =  q³ ; இம் மதிப்புக்களை பதிலீடு செய்தால்  1 + p⁶ = q⁶. எந்த இரு ஆறு மடிகளின் வேறுபாடு  1 ஆக இருப்பதில்லை. பூர்த்தி செய்யமுடியாத  இந்த நிபந்தனை பெர்மாட்  இறுதித் தேற்றத்தை நிரூபிக்கின்றது

அடிப்படைத் தொடர்பு என்பது எண்ணியல் தொடர்பான மறுக்கமுடியாத ஒரு  எளிய உண்மைத் தொடர்பாகும். aⁿ  + bⁿ  = cⁿ என்ற  தொடர்பு n ≥ 3   என்ற நிலையில்  முழு எண்களால் அமைவதில்லை  என்பதை  தன்னிச்சையான ஒரு அடிப்படைத் தொடர்பைக் கொண்டே நிறுவமுடியும். a + b = (a+b) என்ற அடிப்படைத் தொடர்பை எடுத்துக் கொள்வோம்.  இதை a³ ஆல் பெருக்க  a⁴ + a³b = a³(a+b). b = a எனில் , a³b  = a⁴ என ஒரு  நான்கு மடியாக்க  முடியும் . ஆனால் a³(a+b)    =2a⁴ , இதில் குணகம் 2 ஆக இருப்பதால்  அதை முழு எண்ணாலான நான்கு மடியாகக் காட்ட முடிவதில்லை. b = a c⁴  எனில் a³b = (ac)⁴ என ஒரு  நான்கு மடியாக்க  முடியும்.  ஆனால் a³(a+b)    =a⁴ (1+ c⁴) . இதில்  (1+ c⁴)  ஐ ஒரு நான்கு மடியாகக் காட்ட முடிவதில்லை. (a+b) = ac⁴ என்றால் a³(a+b)    =(ac)⁴. ஆனால் b = a (c⁴ -1) என்பதால் a³b = a⁴ (c⁴ – 1), இதிலுள்ள (c⁴ – 1) ஐ ஒரு நான்கு மடியெண்ணாக்க முடிவதில்லை. எந்த பதிலீட்டாலும் ₂⁴R⁴₁  தொடர்பிலுள்ள மூன்று உறுப்புக்களையும் முழு எண்களுடனான நான்கு மடியாகக் காட்ட முடிவதில்லை . இந்த விளக்கம் n  மடிகளாலான தொடர்புகளுக்கும்  பொருந்தும் .              

.

பிதகோரஸ் எண்தொடர்புகளுக்கு இது எதிர்ப்புக்  காட்டுவதில்லை.   a² +ab = a(a+b) ஒரு பிதகோரஸ் தொடர்பாக அமைய  ab = x²  என்றும் a(a+b) = y²   என்றும் இருக்கவேண்டும் .   இது ax² = b(y² – x²)   என்ற நிபந்தனையைத் தருகின்றது. இதற்கு      a =(y² – x²) , b = x²  என்பன ஒரு தீர்வாகும். z² – x² = y²   என்ற தொடர்பிற்கு  ஏற்ப அமையும் பிதகோரஸ் மூவெண்கள்  இதற்கு உட்பட்டவைகளாகும் . எ.கா (3,4,5) என்ற பிதகோரஸ் மூவெண் a = 9 , b = 16 என்ற மதிப்புக்களையும்  (9,12,15) என்ற பிதகோரஸ் மூவெண்ணையும் பெறலாம்.  

பகா  எண் காரணிகளைக் கொண்டு  முழுஎண்களாலான ₂ⁿRⁿ₁ (பிதகோரஸ் தொடர்பு நீங்கலாக) வகைத் தொடர்புகளை ஏற்படுத்த முடியாவிட்டாலும் ,  ₂ⁿRⁿ₂  வகைத் தொடர்புகளை ஏற்படுத்த முடிகின்றது.

₂²R²₂ வகைக்கான எண் தொடர்புகளை எளிதில் அமைக்கலாம். a²  + b² = c² + d² என்ற தொடர்பை  a² – c² = d² – b² எனத் திருத்தி எழுதிக்கொள்வோம். ஒட்றை + இரட்டை = ஒட்றை  என்ற நிலைப்பாட்டிற்கு ஏற்ப (a-c) (a+c) = (d-b) (d+b ) = P₁² P₂² என்று கொண்டு தீர்வு செய்வோம்.

                                                      a - c  = P₁                                                                       d – b = P₂

                                                      a + c = P₁ P₂²                                                 d + b = P₁² P₂

                                    a = (P₁/2)(P₂² + 1)                              d = (P₂/2)(P₁² + 1)

                                 c =(P₁/2)(P₂² - 1)                                b =(P₂/2)(P₁² - 1)

இம்மதிப்புகள்  [P₁ ((P₂² + 1)]² +[P₂ ((P₁² - 1)]² = [P₁ ((P₂² - 1)]² + [P₂ ((P₁² + 1)]²   என்ற தொடர்பைத் தருகின்றது

P₁ = 4 ; P₂ = 7 எனில்   [105,200 = 119,192]² பகா எண்களை பரிமாற்றம் செய்வதால் புதிய எண்   தொடர்புகள் மலர்வதில்லை.  .

பகாஎண் காரணிகளைக் கொண்டு முழுஎண்களுடன்  ₂³R³₁   வகைத் தொடர்புகளுக்கான எண் தொடர்புகளை ஏற்படுத்த முடியாவிட்டாலும்  ₂³R³₂  வகைத் தொடர்புகளுக்குத் தடை இருப்பதில்லை .a³ + b³ = c³ + d³ = P₁P₂P₃ என்றிருக்கட்டும்.

(a+b) (a² – ab + b² ) = ( c+ d) ( c² –cd + d²)  = P₁P₂P₃

                                              a+b  =  P₃                                                                       c + d = P₂

                   a² – ab + b² = P₁P₂                                   c² –cd + d²  = P₁P₃

இவ்விரு சமன்பாடுகளையும்   தீர்வு செய்து  a = [3 P₃  + √ (12 P₁P₂ – 3 P₃²) ]/ 6, b =[3 P₃  - √ (12 P₁P₂ – 3 P₃²) ]/ 6 , c = [3 P₂  + √ (12 P₁P₃ – 3 P₂²)]/6 , d = [3 P₂  + √ (12 P₁P – 3 P₂²)]/6  எனத் தொடர்பிற்கான மடி மூலங்களைத் தெரிவு  செய்யலாம்.

இரு மும்மடிகளின் கூடுதலை மூன்று பகா எண் காரணிகளின் பெருக்கலாகக் கொண்டு  எளிதாக எண் தொடர்புகளை சமைக்கலாம்.

7 x 13 x 19 = 1729 =  [1,12 = 9 ,10]³

13x37x43  = 20683 = [10,27 = 19,24]³

73 x 157 x 211 = 2418271 = [23,134 = 95, 116]³

மூன்று பகா எண் காரணிகளுள் ஒன்று ஒரு பகா எண் காரணியின் மடிகளாக இருக்கலாம் அல்லது இரு வேறு பகா எண்களின் பெருக்கலாகவும் இருக்கலாம்.

₂ⁿRⁿ₁ தொடர்புகளில்  a.b,c மூன்றும் மடி எண்களாக இருப்பதில்லை

இருமடி  எண் தொடர்புகளில்

₂²R²₁ தொடர்புகளில் மடி மூல எண்கள் மூன்றும் மடி எண்களாக இருப்பதில்லை என்பதற்கான விளக்கத்தையும் இதன் மூலம் பெற முடிகின்றது. .

2k = a = xⁿ (n ≥ 2) எனில்  b = (k²-1) = (x⁴ⁿ -4)/4 = (x²ⁿ/2)² - 1 , c =  (k²+1) = (x⁴ⁿ +4)/4 =(x²ⁿ/2)² + 1. x ன் எம் மதிப்பிற்கும் b   யும் c யும் இரு  மடி எண்களாக மட்டுமின்றி உயர் மடி களாகவும் இருப்பதில்லை, இந்த விளக்கம் உயர் மடிகளாலான ₂ⁿRⁿ₁ தொடர்புகளுக்கு மட்டுமின்றி பிதகோரஸ் எண் தொடர்புகளுக்கும் பொருந்தும்.

k - ன் எம்மதிப்பிற்கும்  உண்மையாக இருக்கின்ற (2k)² + (k² – 1)² = (k²+1)² என்ற தொடர்பில் 2k = p² , (k² -1) = q², (k² + 1) = r²  எனில் (p,q,r மூன்றும் முழு எண்கள்) k² = p⁴/4 இம் மதிப்பை பிற நிபந்தனைகளில் பதிலீடு செய்ய p⁴ – 4 = 4q², p⁴ + 4 = 4r² போன்ற தொடர்புகளைப்  பெற்று r² – q² = 2 என்ற முழு எண்களால் நிறைவு செய்ய முடியாத நிபந்தனையையே பெறமுடிகிறது.

a²  + b²  = c²  என்ற தொடர்பில் a,b,c மூன்றும் இருமடி எண்களாக இருப்பதாகக் கொள்வோம் .a²  = c² – b² = (c-b) (c+b).

c – b = a/k என்றும் c+ b = ak என்றும் பிரிவினை செய்ய c = a [(k² + 1)/2k] , b = a[(k² -1)/2k] என மதிப்புகளைப் பெறலாம். இது 1 + [(k² -1)/2k]²  = [(k² + 1)/2k]²  என்ற நிபந்தனையைத் தருகின்றது . a,b,c  மடியற்ற எண்களாக இருக்கும் போது இது k ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் இணக்கமாக இருக்கின்றது . அவை இருமடி எண்களாக இருக்கும் போது b யும்,c யும் முழு எண் மதிப்புக்களுடன் இருக்க    [(k² -1)/2k]² = q⁴ , [(k² + 1)/2k]²  = r⁴ என்றிருக்க வேண்டும் . அதாவது இது  1 + q⁴ = r⁴  என்ற நிபந்தனைக்கு உட்பட்டிருக்கவேண்டும்.a.b.c மூன்றும் n-ன்  மடியெண்களாக இருந்தால்  1 + q²ⁿ  = r ²ⁿ  என்ற நிபந்தனைக்கு உட்பட்டிருக்க வேண்டும். முழு எண்களாலான  q , r ன் மதிப்புக்கள் இந்த நிபந்தனைக்கு உட்பட்டிருப்பதில்லை . இது ₂ⁿRⁿ₁ (n ≥ 3)   வகைத் தொடர்புகளில் a,b,c  மூன்றும்  ஒரே  மடியெண்ணின் மடி மூல எண்களாக இருப்பதில்லை என்ற உண்மையைத் தெரிவிக்கின்றது .

மும்மடி எண் தொடர்புகளில்

மூன்று மடி மூல எண்களையும்  முழு எண்களாகக் காட்ட முடியாததால் 

₂³R³₁   தொடர்பில் உள்ள  a³ ,b³ ,c³    என்ற மூன்று உறுப்புகளும் முறையே சார்புகளின் மும்மடிக்கு நேர்  விகிதத் தொடர்பில் நிறுவ முடிந்தாலும், அச் சார்புகள் கூறு படா அல்லது சிக்கலெண்களாக இருக்கின்றன .

a³ = c³ – b³ = (c-b) (c² + cb + b²)

c-b = a/k எனில்  c² + cb + b² = (c-b)² + 3cb = a²/k² + 3cb  = a²k

c =(a²/b) [ (k³ -1)/3k²] = b + a/k

b² + (a/k)b – a² [(k³ – 1)/3k²] = 0

இச் சமன்பாட்டைத் தீர்வு செய்து  b = (-a/2k) ± (a/2k) √ [(4k³ – 1)/3], c = (a/2k) ± (a/2k) √ [(4k³ – 1)/3] என்ற தீர்வுகளையும்  (2k)³ + [ -1 + √ [(4k³ – 1)/3]³ = [ 1 + √ [(4k³ – 1)/3]³    என்ற பொதுச் சமன்பாட்டையும்  பெறலாம்

k = 4 ;  8³  + ( -1 + √ 85)³  = (1 + √ 85)³

k = 7 ; 14³  + (-1 + √457)³ = ( 1 + √ 457)³

k =10 ; 20³ + (-1+ √ 1333)³ = ( 1 + √ 1333)³ 

k = 13 ; 26³ + ( -1 + √ 2929)³ = ( 1 + √ 2929)³

a,b,c – ன் பகா எண் காரணிகளைக்  கொண்டும் இதை உறுதி செய்யலாம். a³  + b³ = (a+b) (a² – ab + b²) =  c³  (ஒட்றை +இரட்டை= ஒட்றை ) விதி  (a+b) , (a² – ab + b²)  இரண்டும்  ஒட்றையாக இருக்கவேண்டும் என்று தெரிவிக்கின்றது. மேலும் a <c, b<c, (a+b) > c, (a² – ab + b²)  < c² என்பதால் (a+b) ஒரு ஒட்றை பகா எண் காரணியை மட்டும் கொண்டிருக்க முடியாது. ஏனெனில்  அதுவே  c ன் பகா எண் காரணியாகவும்  அமைந்து  c³ = (a+b)³  என்ற இடர்பாட்டை ஏற்படுத்துகின்றது . (a+b) > c  என்பதால் அப்படி இருப்பத.ற்கான வழியில்லை . எனவே c ன் பகா எண் காரணிகளின் மும்மடியை   (a+b) , (a² – ab + b²)  இரண்டிற்கும்  மேற் குறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு பகுத்தளிக்க வேண்டும். இதை ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் புரிந்து கொள்வோம் .

a³   = c³ – b³ =  (c - b) (c² + cb + b²) என்ற பொதுத் தொடர்பில் a = P₁P₂ எனில்  a³ =  P₁³ P₂³.   c-b  = P₁² P₂ என்றும்   c² + cb + b² = P₁P₂²   என்றும் பகுத்துக் கொண்டால்  c = P₁² P₂ + b என்ற மதிப்பை  c² + cb + b² = P₁P₂² என்ற தொடர்பில் பதிலீடு செய்ய 3b² – 3b P₁² P₂ + P₁⁴ P₂² - P₁P₂²  = 0 என்ற இருபடிச்சமன்பாடும், தீர்வு செய்ய, b = -(1/2) (P₁² P₂) + (1/6) √(12 P₁P₂² – 3 P₁⁴P₂²), c = (1/2) (P₁² P₂)  + (1/6) √(12 P₁P₂² – 3 P₁⁴P₂²) என்ற தீர்வுகளும் கிடைக்கின்றன. P₁= 1 என்ற நிலையில் மட்டுமே , வர்க்க மூலம் நேரெண் மதிப்புள்ளதாக இருக்கும்.  உயர் மதிப்புகளுக்கு மூலம் எதிர்குறியுடையதாக இருப்பதால் வர்க்கமூலம்  சிக்கலெண்ணாக இருக்கும் .  

c = P₁P₂ = 3 x 7 , a = [63 + i √1127] /2 , b = [63 - i √1127] /2

c = P₁P₂ = 7 x 3 , a = [147 + i √7119] /2 , b = [147 - i √7119 ] /2

a³   = c³ – b³ =  (c^3/2 – b^3/2) (c^3/2 + b^3/2) என்ற பொதுத் தொடர்பில் a = P₁P₂ எனில்  a³ =  P₁³ P₂³.

(c^3/2 – b^3/2) = P₁² P₂ என்றும் , (c^3/2 + b^3/2) = P₁P₂² என்றும் பகுத்துக் கொண்டால் c³ = (P₁P₂/2)² [P₂ + P₁]^2,, b³ = (P₁P₂/2)² [P₂ - P₁]². இவற்றின் தகவு  c/b = [(P₂ + P₁)/ (P₂ – P₁)]^2/3 . c யும் b யும் முழுஎண்களாக அமைய  (P₂ + P₁)/ (P₂ – P₁)  ஒரு மும்மடியாக இருக்க வேண்டும்  என்று நிர்பந்திக்கின்றது. (P₂ + P₁)/ (P₂ – P₁) = k³ எனில் P₂ = P₁ [ (k³ +1)/ (k³ -1)]. இது c = bk² என்றும்   a³   = c³ – b³ = b³(k⁶ – 1) என்றும் தெரிவிப்பதால் ₂³R³₁ வகைத் தொடர்புகளில் (a,b,c) மூன்றும் முழுஎண்களாக இருப்பதற்கான சாத்தியக்  கூறு இல்லை என்று அறிவிப்பதின் மூலம் பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம் நிரூபிக்கப் கின்றது.