பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம்-4

நிரூபணம் -3

பகா எண்களின் மடிகளின் கூடுதலின் இரட்டைத்தனமும் ,அவற்றின் வேறுபாட்டின் இரட்டைத் தனமும் வேறு வேறு

இரட்டை எண்கள் குறைந்தது ஒரு முறை இரட்டைத் தனம் கொண்டிருக்கும். அவற்றின் இருமடி குறைந்தது இருமுறையும்  மும்மடி மூன்று முறையும் .n  மடி n முறையும் இரட்டைத் தனம் கொண்டிருக்கும் .அதுபோல ஒட்றை எண்கள் ,அவற்றின் இருமடி ,மும்மடி .... n மடிகள் ஒருமுறை கூட இரட்டைத் தனம்  கொண்டிருப்பதில்லை. ஆனால் இரு ஒட்றை எண்களின்  கூடுதல்   ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட இரட்டைத் தனம்  கொண்டிருக்கலாம் . அவற்றின் இருமடிகளின் கூடுதல், மூன்று  மடிகளின்  கூடுதல் , n  மடிகளின் கூடுதல் அல்லது அவற்றின் கலப்பு  ஒரு முறை மட்டுமே இரட்டைத் தனம்  கொண்டிருக்கும். ஒட்றை இரட்டை  மடி மூல  எண்களின்  மடிகளின் இந்த இரட்டைத் தனத்தின் வேறுபாடு பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்தை நிரூபிக்கின்றது .

₂⁴R⁴₁  க்கான ஒரு பொதுத் தொடர்பு   a⁴ = c⁴ – b⁴ = (c-b) (c+b) (c² + b²), a இரட்டை என்றும் , b யும் c யும் ஒட்றை  என்றும் கொள்வோம். இதனால் (c-b), (c+b), (c² + b²) மூன்றும் இரட்டையாகவே இருக்க முடியும் எனலாம். இதில் ஒரு எண்ணின் நான்கு மடி மூன்று  எண்களின் பெருக்கல் பலனாக இருக்கின்றது.  c  மற்றும் b ன் மதிப்புக்களைத் தேர்வு செய்து  அவற்றின் கூடுதலும் ,வேறுபாடும் வெவ்வேறு எண்களின் நான்கு மடியாக இருக்குமாறு செய்யலாம் .

                                                                c - b =  x⁴                                                                            

                                                                c + b = y⁴ 

இது  c = [(y⁴  + x⁴)/2] , b = [(y⁴ -  x⁴)/2] என்ற மதிப்பை நிர்ணயிக்கின்றது. இம் மதிப்புக்களை ப் பதிலீடு செய்தால்

                                       a⁴  = x⁴ y⁴ { [(y⁴  + x⁴)/2]²  + [(y⁴  -  x⁴)/2]² }

                                             = x⁴ y⁴  [(y⁸  + x⁸)/2]

 [(y⁸  + x⁸)/2] = z⁴ என்றிருக்கும் போது a = xyz  என்ற முழு எண் மதிப்புள்ளதாக இருக்கும்.(y⁸  + x⁸) = 2z⁴ என்ற தொடர்பு ஒட்றை -இரட்டைச் சமனால் தவிர்க்கப்படுவதால் இது போன்ற எண் தொடர்புகள் முழு   எண்களால் இயலாததாக இருக்கின்றது. (y⁸  + x⁸)- ன் இரட்டைத் தனத்தின் அளவு  , 2z⁴  ன் ஒட்றைப்படை இரட்டைத் தன்மைக்கு எந்த நிலையிலும் சமப்படுவதில்லை. இதன் காரணமாக a⁴ ± b⁴  = c² ; a⁴  - b⁴  = 2c² போன்ற தொடர்புகள் முழு எண்களால் சாத்தியமாவதில்லை  என்று கூறலாம்

இது மடியெண் 4,6,8..... (2n)  என இரட்டைப்படையில் இருக்கும் அனைத்து ₂²ⁿR²ⁿ₁    வகைத் தொடர்புகளுக்கும் உண்மையாக இருக்கின்றது      

 

மடி மூல எண்களின் பகா எண்  காரணிகளைக் கொண்டும் இதை மெய்ப்பிக்க முடியும். a⁴   = c⁴ -  b⁴ = (c²  - b²) (c² + b² )  என்ற தொடர்பில்  a = 2 P₁ P₂  என்று கொண்டால்,

c²  - b²  = 2 P₁³ P₂  என்றும் c² + b² =  2³ P₁ P₂³  என்றும்  மதிப்புடையனவாக இருக்கலாம். இதிலிருந்து  c²  = P₁ P₂ [ 2²P₂²  +  P₁² ] , b² = P₁P₂  [2²P₂²  -  P₁² ] என்ற தீர்வைப் பெறலாம். b யும்   c யும்   முழு எண்களாக இருக்க வேண்டுமெனில்  [2²P₂²  +  P₁² ] = P₁ P₂  P₄² என்றும் [2²P₂²  -  P₁²]  = P₁ P₂  P₃² என்றும் மதிப்புக் கொண்டிருக்கவேண்டும்.

                                                     2²P₂²  +  P₁²              P₄²

                                             ^{----------------------    =   ------}                                                           

                                                     2²P₂²  -  P₁²               P₃² 

                                           2² P₂² [ p₄²  - p₃²  ]  =  P₁² [ p₄²  + p₃²  ] 

                               

இரண்டு பகா  எண்களின் இருமடிகளின் கூடுதல்  ஒரு முறை மட்டுமே இரட்டைத் தனம் கொண்டிருக்கும் ஆனால் அவற்றின் வேறுபாடு  இரண்டு அல்லது அதற்கும் கூடுதலான இரட்டைத் தனம் கொண்டிருக்கும் . அதாவது p₄²  + p₃² ன் இரட்டைத் தனம் 1 ஆகவும் P₄ – P₃ க்கு  ஒன்றைவிடக் கூடுதலாகவும் இருக்கும் . இதனால் இந்த பொதுத் தொடர்பின் ஒட்றை -இரட்டைத் தன்மை  பகா காரணிகளின் எம்மதிப்பிற்கும் சமப்படுவதில்லை. இவ்விளக்கம் முழு எண்களுடன் கூடிய  ₂⁴R⁴₁  வகைத் தொடர்புகள் சாத்தியமில்லை என்பதற்கு மட்டுமின்றி ₂ⁿRⁿ₁ (n ≥ 3 ) வகைத் தொடர்புகளும்  சாத்தியமில்லை என்பதற்கும் போதுமானதாக இருக்கின்றது.

₂²ⁿR²ⁿ₁  க்கான ஒரு   பொதுத் தொடர்பில்  a = 2P₁P₂ எனில்  a²ⁿ =2²ⁿ P₁²ⁿ P₂²ⁿ = c²ⁿ – b²ⁿ = (cⁿ-bⁿ) (cⁿ+bⁿ). பெருக்கப்படும் இரு பகுதிகளுக்கும் இதைப் பிரிவினை செய்தால்,

cⁿ-bⁿ = 2⁴  P₁^2n-2 P₂² ; cⁿ+bⁿ  = 2^2n-4 P₁² P₂^2n-2 என்ற மதிப்புள்ளதாக இருக்கும். இதிலிருந்து bⁿ,cⁿ  ன் மதிப்புக்களை bⁿ = 2³ P₁² P₂² [ 2^2n-8 P₂^2n-4 – P₁^2n-4], cⁿ = 2³ P₁² P₂² [ 2^2n-8 P₂^2n-4 + P₁^2n-4],    என்றவாறு பெறலாம். b யும்   c யும்   முழு எண்களாக இருக்க வேண்டுமெனில்  2^2n-8 P₂^2n-4 – P₁^2n-4    = 2^n-3 P₁^n-2P₂^n-2 P₃ⁿ என்றும் 2^2n-8 P₂^2n-4 + P₁^2n-4    = 2^n-3 P₁^n-2P₂^n-2 P₄ⁿ என்றும் இருக்கவேண்டும். இது  2^2n-8 P₂^2n-4[ p₄ⁿ – P₃ⁿ] = P₁^2n-4[ P₄ⁿ + P₃ⁿ]      என்ற தொடர்பை ஏற்படுத்துகின்றது. p₄ⁿ – P₃ⁿ ன் இரட்டைத் தனத்தின் அளவு  P₄ⁿ + P₃ⁿ ன் இரட்டைத் தனத்தின் அளவை விடக் கூடுதலாக இருப்பது தொடர்பின் சமனின்மையை  வெளிப்படுத்துகின்றது. இரு பகா எண்களின் கூடுதல் .அவற்றின் மடிகளின் கூடுதலை விட கூடுதலான இரட்டைத் தனம் கொண்டிருப்பது பெர்மாட் இறுதித் தேற்றத்தை நிரூபிக்கின்றது.

₂ⁿRⁿ₁ வகைத் தொடர்புகளின் இரட்டைத் தனம் மட்டுமின்றி  எந்தவொரு எண்ணின் மடங்குத் தனத்தை அளவிட்டறிந்தும்  நிரூபிக்கலாம் என்பது இந்த நிரூபணத்தின் கூடுதல் சிறப்பு  . .எடுத்துக்காட்டாக எண்களின் மும்மடங்குத் தனத்தை எடுத்துக்கொள்வோம். .மும்மடங்குத் தனத்தால் எண்கள் - மீதி 1 தருவன , மீதி 2 தருவன , மீதி தராதன என மூன்று வகைப்படும். மேலும் மும்மடிகளின் மும்மடங்குத் தனமும் , மடி மூல எண்களின் மும்மடித்தனமும் ஒன்றே.  இதைக் கீழ்கண்டவாறு குறிப்பிடலாம்.

(1+3n)³ mod 3 = 1        (1+3n) mod 3 = 1

(2+3n)³ mod 3 = 2        (2+3n) mod 3 = 1

(3n)³ mod 3 = 0             (3n) mod 3 = 0

எனவே  ₂³R³₁ வகைத் தொடர்புகளில் இரு பக்கங்களின் மும்மடங்குத்தனம்  சமமாக இருக்க வேண்டும் என்றால்  அத் தொடர்பு  (3p+2)³ + (3q)³ = (3r+2)³      என்றவாறு அமைந்திருக்க வேண்டும். இவ்வகைத் தொடர்புகள்  ( ஒட்றை + இரட்டை = ஒட்றை ) என்ற அமைப்பிற்கும் உட்பட்டவாறு இருக்கவேண்டும் என்பதாலும்,  r > p என்பதாலும்  p.q.r  -ன் மதிப்புக்கள் எல்லா மதிப்புக்களையும் கொண்டிருக்க முடியாது . ( ஒட்றை + இரட்டை = ஒட்றை ) விதி மற்றும் சரி சம மும்மடங்குத்தனம்  என இரண்டையும் நிறைவேற்ற   பொதுத் தொடர்பு  (6p +5)³  + (6q)³ = (6r+5 )³   என்றவாறு   இருக்கலாம். r = p + n எனில் (6q)³ = (6p+5 + 6n )³ – (6p + 5)³. இது

6²(q³ – n³) = 6² (3np² + 3n²p + 5np) + 15 n (6n +5)  என்ற துணைத் தொடர்பைத் தருகின்றது. n க்கு எம்மதிப்புக்கொடுத்தாலும்  , இத் தொடர்பு   மும்மடங்குத்தனத்தால் சமப்படுவதில்லை.. இதற்குக் காரணம் , எந்த இரு மும்மடிகளின் கூடுதலும் , அதன் மடி மூல எண்களை விடக் கூடுதலான ஓரெண்ணால்  முழுமையாக வகுபட்டாலும் அதன் மும்மடியால் மீதமின்றி  வகுபடுவதில்லை. இது உயர் மடிகளுக்கும் பொருந்தும். 

பொய்களிலிருந்து உண்மையை வெளிப்படுத்திக் காட்டுவதை விட உண்மையிலிருந்து பொய்யை வெளிப்படுத்திக் காட்டுவது  கணிதவியல் வழிமுறையில் எளிமையானது என்பதற்கு இது ஒரு  சிறந்த எடுத்துக்காட்டாக இருக்கின்றது .