பக்காத் திருடன்

 செட்டிநாட்டில் உள்ள ஒரு பழங்கால பெண்மணியின் உருவப்படம் அருங்காட்சி யகத்தில் வைக்கப்பட்டுள்ளது. அதன் சட்டகம் 32 விலையுயர்ந்த கற்களால் அலங்கரிக்கப்பட்டுள்ளது, இதனால் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் 12 கற்கள் உள்ளன. ஒரு இருண்ட இரவில் ஒரு புத்திசாலியான திருடன் அருங்காட்சியகத்திற்குள் நுழைந்து நான்கு கற்களை எடுத்துச் சென்றான். மறுநாள் காலை காவலர் வந்து ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள கற்களை எண்ணினார். அதே 12 கற்கள். 4 கற்கள்  திருடப்பட்டதை  தாமதமாகஅருங்காட்சியக அதிகாரிகள் கண்டறிந்தனர். அது எப்படி சாத்தியமாக இருக்கும்?

சட்டத்தில் பாதிக்கப்பபெற்ற ரத்தினக் கற்கள்

                                                                4            4             4  = 12

                                                                4                            4

                                                                4            4              4   = 12

                                                               12                          12

ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் மையத்தில் பாதிக்கப்பட்டுள்ள இரண்டு ரத்தினக் கற்கள் திருடப்பட்டு , காண்பவர்களால் உடனடியாக கண்டுபிடிக்கமுடியாதவாறு மீதியுள்ள கற்களைச்  சற்று மாற்றி திருடனால் பதிக்கப்பட்டன

                                                                                                                                                  .                                                                5                         2                           5             = 12

            2                                                      2

           5                          2                          5               = 12

          12                                                   12                                                                                                                                                                                                                                

 

கணிதத்தில் ஒரு புதிர் கொடுக்கப்படும், அப்புதிரை விடுவிக்க கணிதவியல் வழிமுறையில் முயற்சி செய்யவேண்டும். கொடுக்கப்பட்ட விடைக்கு ஏற்ப புதிரை விடுவிப்பதும் ஒரு புதிர்தான் . அப்படியொரு புதிர் கீழே தரப்பட்டுள்ளது.   

⃝  -    ⃝    = 9                                                                                                                                                      +         +                                                                                                                                                             ⃝  -   ⃝    = 14                                                                                                                                          ---------------                                                                                                                                                      ‖         ‖                                                                                                                                                           25      2

 A - B = 9 , C - D = 14, A + C = 25 மற்றும்  B + D = 2 என இருக்கட்டும். (A + C) – (A-B) = 25 – 9 = B + C = 16;  (B + D) + (C +  D) = 2 + 14 =  B + C = 16

சமன்பாடுகளை ஏற்படுத்திக்கொண்டு தெரியாத கூறுகளின் மதிப்புக்களை அறிந்துகொள்ள முடிவதில்லைநான்கு கூறுகளும் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடைய தாக இருப்பதால் அவை ஒரேயொரு காரணியுடன் தொடர்புகொண்டு இருக்கும் .

A – B = 9  ;  B = A – 9                                                                                                                                                                                                                                                          B + D = 2; D = 2 – B = 2 –A + 9 = 11- A                                                                                                                                                                                                                       A + C = 25 ;  C = 25 – A                                                                                                                                                                                                                                                   A = 10 எனில் B = 1, C =15, D = 1

 

x² – x³ = 12  என்றால் x -ன் மதிப்பைக் கண்டுபிடி

இச் சமன் தொடர்பை சற்று மாற்றி அமைத்துக்கொண்டால் அதைத் தீர்வு செய்வது எளிதாகிறது

x² – 4 = x³ + 8                                                                                                                                                                                                                                  (x-2)(x+2) = (x+2) (x² – 2x+ 4)                                                                                                                                                                                                (x-2) = x² – 2x + 4                                                                                                                                                                                                                             x² – 3x + 6  = 0                                                                                                                                                                                                                   இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்வு செய்ய  x  = [3 ±√ - 15]/2 . x  எதிர் மதிப்புடையது என்பதால்  x = [3 – i √15]/2

x² – x³ = 36  என்றால்                                                                                                                                                                                                  x² – 9 = x³ + 27                                                                                                                                                                                                                          (x-3)(x+3) = (x+3) (x² – 3x+ 9)                                                                                                                                                                                                              (x-3) = x² – 3x + 9                                                                                                                                                                                                                                          x² – 4x + 12  = 0 . இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்வு செய்ய  x  = [2 ±2i√2]

பொதுவாக x² – x³ = N (= n² + n³ ) எனில் (x² – n² ) = (x³  + n³ )                                                                                                                                                   (x-n)(x+n) = (x+n) (x² – nx+ n²)                                                                                                                                                                                                     (x-n) = x² – nx +n²                                                                                                                                                                                                                             x² – (n+1)x + n(n+1)  = 0 . இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்வு செய்ய  x  = [(n+1) – i √ 3n² + 2n – 1]/2

x² + x³ = 12   என்றால்   x³ – 8 = 4 –x²; (x-2)(x² +2x +4) = (2-x) (2+x) ; x² +3x +6 = 0; x = [-3 +i √15]/2